Математический анализ Примеры

$y = x \sqrt{x}$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x \sqrt{x}$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Этап 2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Этап 2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Этап 2.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Этап 2.7.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.8

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем числитель к нулю.

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 3.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Разделим каждый член $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 3.2.1.2.2

Разделим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

Этап 3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 3.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{2}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 0^{2}$

Этап 3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x \sqrt{x}$ в точке $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Избавимся от скобок.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = 0 \cdot 0$

Этап 4.2.4

Умножим $0$ на $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = x \sqrt{x}$ : $y = 0$ .

$y = 0$

Этап 6