Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x)$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 8 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 8 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 8 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot - 8$ .

$x (3 x - 8) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 x - 8 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $3 x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $3 x - 8$ к $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $3 x - 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 8$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 8$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 8$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (3 x - 8) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{8}{3}$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ в точке $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 4$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 3.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ в точке $x = \frac{8}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Этап 4.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Этап 4.2.1.4

Применим правило умножения к $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{8^{2}}{3^{2}}$

Этап 4.2.1.5

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{64}{3^{2}}$

Этап 4.2.1.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 (\frac{64}{9})$

Этап 4.2.1.7

Умножим $- 4 (\frac{64}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.1

Объединим $- 4$ и $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 4 \cdot 64}{9}$

Этап 4.2.1.7.2

Умножим $- 4$ на $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 256}{9}$

Этап 4.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9}$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $- \frac{256}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $\frac{256}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{27}$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 256 \cdot 3}{27}$

Этап 4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $- 256$ на $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768}{27}$

Этап 4.2.5.2

Вычтем $768$ из $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 256}{27}$

Этап 4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{256}{27}$

Этап 4.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{256}{27}$ .

$- \frac{256}{27}$

Этап 5

Горизонтальные касательные функции $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ ― $y = 0, y = - \frac{256}{27}$ .

$y = 0, y = - \frac{256}{27}$

Этап 6