Математический анализ Примеры

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = 4 x^{2} - 8 x + 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ в виде ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4$ и $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.3.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.3.5

Вычтем $4$ из $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.3.6

Добавим $4 x$ и $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.3.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.7.1

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.3.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.4.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.5

Добавим $4$ и $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.6

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.8

Перепишем $16 x (- x + 2)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.8.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Этап 1.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Этап 1.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ в виде ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3.5

Вычтем $4$ из $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3.6

Добавим $4 x$ и $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.3.7.1

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.4.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.5

Добавим $4$ и $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.6

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.8

Перепишем $16 x (- x + 2)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.8.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Этап 1.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Этап 1.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ в виде ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3.5

Вычтем $4$ из $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3.6

Добавим $4 x$ и $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.7.1

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.4.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.5

Добавим $4$ и $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.6

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.8

Перепишем $16 x (- x + 2)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.8.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Этап 1.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Этап 1.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Этап 1.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$8 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$8 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$8 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.4.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.5.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + 0$

Этап 3.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Добавим $8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$ и $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$

Этап 3.2.7.2

Изменим порядок членов.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8$

Этап 3.3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8 = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' + 4 y' - 8 = - 8 x$

Этап 3.5.1.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$2 y y' + 4 y' = - 8 x + 8$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y' + 4 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y'$ .

$2 y' y + 4 y' = - 8 x + 8$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 8 x + 8$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ .

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ на $2 (y + 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ на $2 (y + 2)$ .

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Этап 3.5.3.2.2

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Этап 3.5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Этап 3.5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Этап 3.5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 4 x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Этап 3.5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{(4) x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Этап 3.5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Этап 3.5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Этап 3.5.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{4}{y + 2}$

Этап 3.5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 4 x + 4}{y + 2}$

Этап 3.5.3.3.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4}{y + 2}$

Этап 3.5.3.3.2.2.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4 (1)}{y + 2}$

Этап 3.5.3.3.2.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (1)$ .

$y' = \frac{4 (- x + 1)}{y + 2}$

Этап 3.5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{4 (- (x) + 1)}{y + 2}$

Этап 3.5.3.3.2.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x) - 1 (- 1))}{y + 2}$

Этап 3.5.3.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x - 1))}{y + 2}$

Этап 3.5.3.3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.2.6.1

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (x - 1))}{y + 2}$

Этап 3.5.3.3.2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{4 (x - 1)}{y + 2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем числитель к нулю.

$4 (x - 1) = 0$

Этап 4.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $4 (x - 1) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Разделим каждый член $4 (x - 1) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 4.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 4.2.1.2.1.2

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{4}$

Этап 4.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Solve the function $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- (1) + 2$ на $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Этап 5.2.1.3

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

Этап 5.2.1.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \cdot 1$

Этап 5.2.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = - 2 + 2$

Этап 5.2.2

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (1) = 0$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6

Solve the function $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- (1) + 2$ на $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Этап 6.2.1.3

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

Этап 6.2.1.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \cdot 1$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (1) = - 2 - 2$

Этап 6.2.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$f (1) = - 4$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = - 4$

$y = 0, y = - 4$

Этап 8