Математический анализ Примеры

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$

Этап 1

Set each solution of $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 25 (x^{2} - y^{2}) \to f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$

Этап 2

Because the $y$ variable in the equation $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

Этап 2.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 2.2.6.2

Изменим порядок множителей в $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Этап 2.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 (x^{2} - y^{2})$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Этап 2.3.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Этап 2.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Этап 2.3.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$25 (2 x - 2 y y')$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

Этап 2.3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $2$ на $25$ .

$50 x + 25 (- 2 y y')$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $- 2$ на $25$ .

$50 x - 50 y y'$

Этап 2.3.5.3

Изменим порядок членов.

$- 50 y y' + 50 x$

Этап 2.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.3

Развернем $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4.5

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4.6

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4.7

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.7.1

Перенесем $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4.7.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.7.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.1.4.8

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

Этап 2.5.2

Добавим $50 y y'$ к обеим частям уравнения.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

Этап 2.5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вычтем $8 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

Этап 2.5.3.2

Вычтем $8 x y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 2.5.4

Вынесем множитель $2 y y'$ из $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $8 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 2.5.4.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $8 y^{3} y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 2.5.4.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $50 y y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 2.5.4.4

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 2.5.4.5

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 2.5.5

Разделим каждый член $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ на $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Разделим каждый член $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ на $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 2.5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 2.5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.2.3

Сократим общий множитель $4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

Этап 2.5.5.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $50$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $50 x$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{(4) x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.1.4

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Этап 2.5.5.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Этап 2.5.5.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.1.5

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Этап 2.5.5.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Этап 2.5.5.3.2

Чтобы записать $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 2.5.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.3.1

Умножим $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

Этап 2.5.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.6

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.6.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.6.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.7

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.7.1

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.7.2

Вынесем множитель $x$ из $25 x$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.7.3

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.7.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.7.5

Вынесем множитель $x$ из $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.9

Перепишем $25$ в виде $- 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.13.1

Перепишем $- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ в виде $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.5.5.3.13.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 2.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем числитель к нулю.

$x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$

Этап 3.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

Этап 3.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.3

Приравняем $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Приравняем $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ к $0$ .

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

Этап 3.2.3.2

Решим $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1.1

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} + 4 y^{2} = 25$

Этап 3.2.3.2.1.2

Вычтем $4 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$

Этап 3.2.3.2.2

Разделим каждый член $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Этап 3.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Этап 3.2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Этап 3.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.2.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 y^{2}$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4}$

Этап 3.2.3.2.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 (1)}$

Этап 3.2.3.2.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 \cdot 1}$

Этап 3.2.3.2.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{1}$

Этап 3.2.3.2.2.3.1.2.4

Разделим $- y^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} - y^{2}$

Этап 3.2.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$

Этап 3.2.3.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.4.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{4} - y^{2}}$

Этап 3.2.3.2.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} - y^{2}}$

Этап 3.2.3.2.4.3

Перепишем $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ в виде ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - y^{2}}$

Этап 3.2.3.2.4.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{5}{2}$ и $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y) (\frac{5}{2} - y)}$

Этап 3.2.3.2.4.5

Чтобы записать $y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y \cdot \frac{2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

Этап 3.2.3.2.4.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.4.6.1

Объединим $y$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + \frac{y \cdot 2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

Этап 3.2.3.2.4.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + y \cdot 2}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

Этап 3.2.3.2.4.7

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

Этап 3.2.3.2.4.8

Чтобы записать $- y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y \cdot \frac{2}{2})}$

Этап 3.2.3.2.4.9

Объединим $- y$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2})}$

Этап 3.2.3.2.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - y \cdot 2}{2}}$

Этап 3.2.3.2.4.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - 2 y}{2}}$

Этап 3.2.3.2.4.12

Умножим $\frac{5 + 2 y}{2}$ на $\frac{5 - 2 y}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2 \cdot 2}}$

Этап 3.2.3.2.4.13

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}}$

Этап 3.2.3.2.4.14

Перепишем $\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.4.14.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{4}}$

Этап 3.2.3.2.4.14.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.2.3.2.4.14.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}$

Этап 3.2.3.2.4.15

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$

Этап 3.2.3.2.4.16

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Этап 3.2.3.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Этап 3.2.3.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Этап 3.2.3.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Этап 3.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$ верно.

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Этап 4

Solve the function $f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$ at $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 25 ({(0)}^{2} - y^{2})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 25 (0 - y^{2})$

Этап 4.2.2

Вычтем $y^{2}$ из $0$ .

$f (0) = 25 (- y^{2})$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f (0) = - 25 y^{2}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $- 25 y^{2}$ .

$- 25 y^{2}$

Этап 5

Solve the function $f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$ at $x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 ({(\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2})}^{2} - y^{2})$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}^{2}$ в виде $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ в виде ${((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{({((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.1.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.2

Развернем $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 (5 - 2 y) + 2 y (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.3

Объединим противоположные члены в $5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.3.1

Изменим порядок множителей в членах $5 (- 2 y)$ и $2 y \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 - 2 \cdot (5 y) + 2 \cdot (5 y) + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.3.2

Добавим $- 2 \cdot 5 y$ и $2 \cdot 5 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 0 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.3.3

Добавим $5 \cdot 5$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.4.1

Умножим $5$ на $5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y \cdot y)}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.4.3

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.4.3.1

Перенесем $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 (y \cdot y))}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.4.3.2

Умножим $y$ на $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y^{2})}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.4.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.5

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5^{2} - 4 y^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.6

Перепишем $4 y^{2}$ в виде ${(2 y)}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5^{2} - {(2 y)}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = 2 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - (2 y))}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Этап 5.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} - y^{2})$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $- y^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} - y^{2} \cdot \frac{4}{4})$

Этап 5.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим $- y^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} + \frac{- y^{2} \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Развернем $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 (5 - 2 y) + 2 y (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.4.2

Объединим противоположные члены в $5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Изменим порядок множителей в членах $5 (- 2 y)$ и $2 y \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 - 2 \cdot (5 y) + 2 \cdot (5 y) + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим $- 2 \cdot 5 y$ и $2 \cdot 5 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 0 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.4.2.3

Добавим $5 \cdot 5$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Умножим $5$ на $5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.4.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.4.3.3

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.3.1

Перенесем $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.4.3.3.2

Умножим $y$ на $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y^{2}) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.4.3.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.4.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2} - 4 y^{2}}{4})$

Этап 5.2.4.5

Вычтем $4 y^{2}$ из $- 4 y^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 8 y^{2}}{4})$

Этап 5.2.5

Объединим $25$ и $\frac{25 - 8 y^{2}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $\frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$ .

$\frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Этап 6

The horizontal tangent lines are $y = - 25 y^{2}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

$y = - 25 y^{2}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Этап 7