Математический анализ Примеры

$y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$

Этап 1

Set each solution of $y^{3} + x y - y$ as a function of $x$ .

$y = 8 x^{4} \to f (x) = 8 x^{4}$

Этап 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x y - y) = \frac{d}{d x} (8 x^{4})$

Этап 2.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $y^{3} + x y - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$3 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2.3.4

Умножим $y$ на $1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y - \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y - y'$

Этап 2.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{4}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$8 (4 x^{3})$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $8$ .

$32 x^{3}$

Этап 2.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 y^{2} y' + x y' + y - y' = 32 x^{3}$

Этап 2.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' + x y' - y' = 32 x^{3} - y$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y' + x y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + x (y') - y' = 32 x^{3} - y$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x) - y' = 32 x^{3} - y$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

Этап 2.5.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

Этап 2.5.2.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$

Этап 2.5.3

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ на $3 y^{2} + x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ на $3 y^{2} + x - 1$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Этап 2.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.1

Сократим общий множитель $3 y^{2} + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Этап 2.5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Этап 2.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

Этап 2.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем числитель к нулю.

$32 x^{3} - y = 0$

Этап 3.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$32 x^{3} = y$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $32 x^{3} = y$ на $32$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $32 x^{3} = y$ на $32$ .

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{y}{32}$

Этап 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{y}{32}}$

Этап 3.2.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{y}{32}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем $\frac{y}{32}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Вынесем полную степень $1^{3}$ из $y$ .

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{32}}$

Этап 3.2.4.1.2

Вынесем полную степень $2^{3}$ из $32$ .

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}}$

Этап 3.2.4.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}$ .

$x = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}}$

Этап 3.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{y}{4}}$

Этап 3.2.4.3

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{y}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 3.2.4.4

Умножим $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Этап 3.2.4.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.5.1

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.5.1.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.2.4.5.1.2

Возведем $\sqrt[3]{4}$ в степень $1$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.2.4.5.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Этап 3.2.4.5.1.4

Добавим $1$ и $2$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Этап 3.2.4.5.1.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.5.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.2.4.5.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.2.4.5.1.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.2.4.5.1.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.5.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.2.4.5.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Этап 3.2.4.5.1.5.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Этап 3.2.4.5.2

Объединим.

$x = \frac{1 (\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2})}{2 \cdot 4}$

Этап 3.2.4.5.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.5.3.1

Умножим $\sqrt[3]{y}$ на $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.2.4.5.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{8}$

Этап 3.2.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.6.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{4^{2}}}{8}$

Этап 3.2.4.6.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{16}}{8}$

Этап 3.2.4.6.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.6.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{8 (2)}}{8}$

Этап 3.2.4.6.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{8}$

Этап 3.2.4.6.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{8}$

Этап 3.2.4.6.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{8}$

Этап 3.2.4.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.7.1

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.7.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{y \cdot 2}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{y \cdot 2})}{8}$

Этап 3.2.4.7.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.7.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.2.4.7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.2.4.7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$

Этап 3.2.4.7.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$

Этап 4

Solve the function $f (x) = 8 x^{4}$ at $x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4})}^{4}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{2 y}}^{4}}{4^{4}})$

Этап 4.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2 y}}^{4}$ в виде $\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}}{4^{4}})$

Этап 4.2.2.2

Применим правило умножения к $2 y$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{4} y^{4}}}{4^{4}})$

Этап 4.2.2.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{16 y^{4}}}{4^{4}})$

Этап 4.2.2.4

Перепишем $16 y^{4}$ в виде ${(2 y)}^{3} \cdot (2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{8 (2) y^{4}}}{4^{4}})$

Этап 4.2.2.4.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 y^{4})}}{4^{4}})$

Этап 4.2.2.4.3

Вынесем $y^{3}$ за скобки.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 (y^{3} y))}}{4^{4}})$

Этап 4.2.2.4.4

Перенесем $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} y^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Этап 4.2.2.4.5

Перепишем $2^{3} y^{3}$ в виде ${(2 y)}^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Этап 4.2.2.4.6

Добавим круглые скобки.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Этап 4.2.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{4^{4}})$

Этап 4.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{256})$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Вынесем множитель $8$ из $256$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 (32)})$

Этап 4.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 \cdot 32})$

Этап 4.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{32}$

Этап 4.2.3.3

Сократим общий множитель $2$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y \sqrt[3]{2 y}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{32}$

Этап 4.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $32$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

Этап 4.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

Этап 4.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$ .

$\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Этап 5

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

$y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Этап 6