Математический анализ Примеры

$x^{3} + y^{3} = 6 x y$

Этап 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 6 x y \to f (x) = 6 x y$

Этап 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 6 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (6 x y)$

Этап 2.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 2.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x y$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$6 (x y' + y)$

Этап 2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x y' + 6 y$

Этап 2.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 6 x y' + 6 y$

Этап 2.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вычтем $6 x y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y$

Этап 2.5.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y' - 6 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Этап 2.5.3.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $- 6 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Этап 2.5.3.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Этап 2.5.4

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ на $3 (y^{2} - 2 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ на $3 (y^{2} - 2 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Этап 2.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Этап 2.5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Этап 2.5.4.2.2

Сократим общий множитель $y^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Этап 2.5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Этап 2.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 y$ .

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Этап 2.5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Этап 2.5.4.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Этап 2.5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Этап 2.5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Этап 2.5.4.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Этап 2.5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Этап 2.5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Этап 2.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 y - x^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 2 y$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 2 y$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 2 y$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Этап 3.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 2 y}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (- 2 y)$

Этап 3.2.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (- 2 y)$ в виде $- (- 2 y)$ .

$x^{2} = - (- 2 y)$

Этап 3.2.2.3.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} = 2 y$

Этап 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2 y}$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2 y}$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2 y}$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

Этап 4

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = \sqrt{2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{2 y}$ .

$f (\sqrt{2 y}) = 6 (\sqrt{2 y}) \cdot y$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $6 \sqrt{2 y}$ на $y$ .

$f (\sqrt{2 y}) = 6 \sqrt{2 y} y$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $6 \sqrt{2 y} y$ .

$6 \sqrt{2 y} y$

Этап 5

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = - \sqrt{2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{2 y}$ .

$f (- \sqrt{2 y}) = 6 (- \sqrt{2 y}) \cdot y$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f (- \sqrt{2 y}) = - 6 \sqrt{2 y} y$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $- 6 \sqrt{2 y} y$ .

$- 6 \sqrt{2 y} y$

Этап 6

The horizontal tangent lines are $y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

$y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

Этап 7