Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 6}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 6$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x - 6$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 6) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 6) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 6))}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 6) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 6) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 6) x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 6) x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 6 x) - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 6 x) - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 6 x) - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 12 x}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 12 x}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 12 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x (x - 12) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 12 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $x - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x - 12$ к $0$ .

$x - 12 = 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x = 12$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 12) = 0$ верно.

$x = 0, 12$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 4

Вычислим $\frac{x^{2}}{x - 6}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 6}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 - 6}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $6$ из $0$ .

$\frac{0}{- 6}$

Этап 4.1.2.3

Разделим $0$ на $- 6$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $12$ вместо $x$ .

$\frac{{(12)}^{2}}{(12) - 6}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\frac{144}{12 - 6}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $6$ из $12$ .

$\frac{144}{6}$

Этап 4.2.2.3

Разделим $144$ на $6$ .

$24$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $6$ вместо $x$ .

$\frac{{(6)}^{2}}{(6) - 6}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{{(6)}^{2}}{0}$

Этап 4.3.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (12, 24)$

Этап 5