Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x {(16 - x)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x {(16 - x)}^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(16 - x)}^{3})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(16 - x)}^{3}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 16 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $16 - x$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $16 - x$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

По правилу суммы производная $16 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.2

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.7

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1)$

Этап 1.1.4.9

Умножим ${(16 - x)}^{3}$ на $1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3})$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Этап 1.1.5.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f' (x) = - 9 (x ({(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Этап 1.1.5.3

Вынесем множитель $3 {(16 - x)}^{2}$ из $- 9 x {(16 - x)}^{2} + 3 {(16 - x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Вынесем множитель $3 {(16 - x)}^{2}$ из $- 9 x {(16 - x)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Этап 1.1.5.3.2

Вынесем множитель $3 {(16 - x)}^{2}$ из $3 {(16 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

Этап 1.1.5.3.3

Вынесем множитель $3 {(16 - x)}^{2}$ из $3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ .

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x + 16 - x)$

Этап 1.1.5.4

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.5

Перепишем ${(16 - x)}^{2}$ в виде $(16 - x) (16 - x)$ .

$f' (x) = 3 ((16 - x) (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.6

Развернем $(16 - x) (16 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (16 (16 - x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.7.1.1

Умножим $16$ на $16$ .

$f' (x) = 3 (256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.7.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.7.1.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.7.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.7.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.7.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.7.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.7.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.7.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.7.2

Вычтем $16 x$ из $- 16 x$ .

$f' (x) = 3 (256 - 32 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (3 \cdot 256 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.9.1

Умножим $3$ на $256$ .

$f' (x) = (768 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.9.2

Умножим $- 32$ на $3$ .

$f' (x) = (768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Этап 1.1.5.10

Развернем $(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f' (x) = 768 (- 4 x) + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.1

Умножим $- 4$ на $768$ .

$f' (x) = - 3072 x + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11.2

Умножим $768$ на $16$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 x \cdot x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.4.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 x^{2}) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11.5

Умножим $- 96$ на $- 4$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11.6

Умножим $16$ на $- 96$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11.8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.8.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11.8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11.9

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 1.1.5.11.10

Умножим $16$ на $3$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Этап 1.1.5.12

Вычтем $1536 x$ из $- 3072 x$ .

$f' (x) = - 4608 x + 12288 + 384 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Этап 1.1.5.13

Добавим $384 x^{2}$ и $48 x^{2}$ .

$f' (x) = - 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$ .

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $12$ из $- 4608 x$ .

$12 (- 384 x) + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $12$ из $12288$ .

$12 (- 384 x) + 12 (1024) - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x^{3}$ .

$12 (- 384 x) + 12 (1024) + 12 (- x^{3}) + 432 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $12$ из $432 x^{2}$ .

$12 (- 384 x) + 12 (1024) + 12 (- x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (- 384 x) + 12 (1024)$ .

$12 (- 384 x + 1024) + 12 (- x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $12$ из $12 (- 384 x + 1024) + 12 (- x^{3})$ .

$12 (- 384 x + 1024 - x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.1.7

Вынесем множитель $12$ из $12 (- 384 x + 1024 - x^{3}) + 12 (36 x^{2})$ .

$12 (- 384 x + 1024 - x^{3} + 36 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.2

Изменим порядок членов.

$12 (- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разложим $- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 1024, \pm 2, \pm 512, \pm 4, \pm 256, \pm 8, \pm 128, \pm 16, \pm 64, \pm 32$

$q = \pm 1$

Этап 2.2.3.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 1024, \pm 2, \pm 512, \pm 4, \pm 256, \pm 8, \pm 128, \pm 16, \pm 64, \pm 32$

Этап 2.2.3.1.3

Подставим $4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Подставим $4$ в многочлен.

$- 4^{3} + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

Этап 2.2.3.1.3.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 64 + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

Этап 2.2.3.1.3.3

Умножим $- 1$ на $64$ .

$- 64 + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

Этап 2.2.3.1.3.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- 64 + 36 \cdot 16 - 384 \cdot 4 + 1024$

Этап 2.2.3.1.3.5

Умножим $36$ на $16$ .

$- 64 + 576 - 384 \cdot 4 + 1024$

Этап 2.2.3.1.3.6

Добавим $- 64$ и $576$ .

$512 - 384 \cdot 4 + 1024$

Этап 2.2.3.1.3.7

Умножим $- 384$ на $4$ .

$512 - 1536 + 1024$

Этап 2.2.3.1.3.8

Вычтем $1536$ из $512$ .

$- 1024 + 1024$

Этап 2.2.3.1.3.9

Добавим $- 1024$ и $1024$ .

$0$

Этап 2.2.3.1.4

Поскольку $4$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024}{x - 4}$

Этап 2.2.3.1.5

Разделим $- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ на $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$36 x^{2}$

$384 x$

$1024$

Этап 2.2.3.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$

Этап 2.2.3.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 2.2.3.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 2.2.3.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Этап 2.2.3.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$

Этап 2.2.3.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $32 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$

Этап 2.2.3.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					+	$32 x^{2}$	-	$128 x$

Этап 2.2.3.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $32 x^{2} - 128 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$

Этап 2.2.3.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$

Этап 2.2.3.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$

Этап 2.2.3.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 256 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$

Этап 2.2.3.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							-	$256 x$	+	$1024$

Этап 2.2.3.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 256 x + 1024$ .

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							+	$256 x$	-	$1024$

Этап 2.2.3.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							+	$256 x$	-	$1024$
										$0$

Этап 2.2.3.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 32 x - 256$

Этап 2.2.3.1.6

Запишем $- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ в виде набора множителей.

$12 ((x - 4) (- x^{2} + 32 x - 256)) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 (x - 4) (- x^{2} + 32 x - 256) = 0$

Этап 2.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 256 = 256$ , а сумма — $b = 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1.1

Вынесем множитель $32$ из $32 x$ .

$12 (x - 4) (- x^{2} + 32 (x) - 256) = 0$

Этап 2.2.4.1.1.2

Запишем $32$ как $16$ плюс $16$

$12 (x - 4) (- x^{2} + (16 + 16) x - 256) = 0$

Этап 2.2.4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (x - 4) (- x^{2} + 16 x + 16 x - 256) = 0$

Этап 2.2.4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$12 (x - 4) ((- x^{2} + 16 x) + 16 x - 256) = 0$

Этап 2.2.4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$12 (x - 4) (x (- x + 16) - 16 (- x + 16)) = 0$

Этап 2.2.4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 16$ .

$12 (x - 4) ((- x + 16) (x - 16)) = 0$

Этап 2.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 (x - 4) (- x + 16) (x - 16) = 0$

Этап 2.2.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$12 (x - 4) (- (x) + 16) (x - 16) = 0$

Этап 2.2.5.2

Перепишем $16$ в виде $- 1 (- 16)$ .

$12 (x - 4) (- (x) - 1 \cdot - 16) (x - 16) = 0$

Этап 2.2.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 16)$ .

$12 (x - 4) (- (x - 16)) (x - 16) = 0$

Этап 2.2.5.4

Перепишем $- (x - 16)$ в виде $- 1 (x - 16)$ .

$12 (x - 4) (- 1 (x - 16)) (x - 16) = 0$

Этап 2.2.5.5

Избавимся от скобок.

$12 (x - 4) \cdot (- 1 (x - 16) (x - 16)) = 0$

Этап 2.2.5.6

Возведем $x - 16$ в степень $1$ .

$12 (x - 4) \cdot (- 1 ((x - 16) (x - 16))) = 0$

Этап 2.2.5.7

Возведем $x - 16$ в степень $1$ .

$12 (x - 4) \cdot (- 1 ((x - 16) (x - 16))) = 0$

Этап 2.2.5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 (x - 4) \cdot (- 1 {(x - 16)}^{1 + 1}) = 0$

Этап 2.2.5.9

Добавим $1$ и $1$ .

$12 (x - 4) \cdot (- 1 {(x - 16)}^{2}) = 0$

Этап 2.2.5.10

Умножим $- 1$ на $12$ .

$- 12 (x - 4) {(x - 16)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

${(x - 16)}^{2} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.5

Приравняем ${(x - 16)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем ${(x - 16)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 16)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим ${(x - 16)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Приравняем $x - 16$ к $0$ .

$x - 16 = 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x = 16$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 12 (x - 4) {(x - 16)}^{2} = 0$ верно.

$x = 4, 16$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $3 x {(16 - x)}^{3}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$3 (4) {(16 - (4))}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$12 {(16 - (4))}^{3}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$12 {(16 - 4)}^{3}$

Этап 4.1.2.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$12 \cdot 12^{3}$

Этап 4.1.2.4

Умножим $12$ на $12^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $12$ на $12^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1.1

Возведем $12$ в степень $1$ .

$12^{1} \cdot 12^{3}$

Этап 4.1.2.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12^{1 + 3}$

Этап 4.1.2.4.2

Добавим $1$ и $3$ .

$12^{4}$

Этап 4.1.2.5

Возведем $12$ в степень $4$ .

$20736$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $16$ вместо $x$ .

$3 (16) {(16 - (16))}^{3}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $3$ на $16$ .

$48 {(16 - (16))}^{3}$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$48 {(16 - 16)}^{3}$

Этап 4.2.2.3

Вычтем $16$ из $16$ .

$48 \cdot 0^{3}$

Этап 4.2.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$48 \cdot 0$

Этап 4.2.2.5

Умножим $48$ на $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(4, 20736), (16, 0)$

Этап 5