Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x^{3}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$15 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 10$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $15$ на $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$

Этап 2.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$15 u^{2} - 30 u + 15 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $15$ из $15 u^{2} - 30 u + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $15$ из $15 u^{2}$ .

$15 (u^{2}) - 30 u + 15 = 0$

Этап 2.3.1.2

Вынесем множитель $15$ из $- 30 u$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 = 0$

Этап 2.3.1.3

Вынесем множитель $15$ из $15$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 (1) = 0$

Этап 2.3.1.4

Вынесем множитель $15$ из $15 (u^{2}) + 15 (- 2 u)$ .

$15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1) = 0$

Этап 2.3.1.5

Вынесем множитель $15$ из $15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1)$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Этап 2.3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Этап 2.3.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 2.3.2.3

Перепишем многочлен.

$15 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 2.3.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$15 {(u - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4

Разделим каждый член $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ на $15$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ на $15$ .

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим ${(u - 1)}^{2}$ на $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{15}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Разделим $0$ на $15$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.5

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 2.6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 2.7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 1$

Этап 2.8

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.8.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 2.8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 2.8.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 2.8.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$3 {(1)}^{5} - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Этап 4.1.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$3 - 10 \cdot 1 + 15 (1)$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 10$ на $1$ .

$3 - 10 + 15 (1)$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $15$ на $1$ .

$3 - 10 + 15$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $10$ из $3$ .

$- 7 + 15$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $- 7$ и $15$ .

$8$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$3 {(- 1)}^{5} - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$3 \cdot - 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1 + 15 (- 1)$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 10$ на $- 1$ .

$- 3 + 10 + 15 (- 1)$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $15$ на $- 1$ .

$- 3 + 10 - 15$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Добавим $- 3$ и $10$ .

$7 - 15$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $15$ из $7$ .

$- 8$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(1, 8), (- 1, - 8)$

Этап 5