Математический анализ Примеры

$f (x) = | 2 x + 4 |$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = | 2 x + 4 |$ лежит в точке $(- 2, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $2 x + 4$ равным $0$ . В данном случае $2 x + 4 = 0$ .

$2 x + 4 = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение $2 x + 4 = 0$ , чтобы найти координату $x$ вершины графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 4$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 4$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 4$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $2$ .

$x = - 2$

Этап 1.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$y = | 2 (- 2) + 4 |$

Этап 1.4

Упростим $| 2 (- 2) + 4 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = | - 4 + 4 |$

Этап 1.4.2

Добавим $- 4$ и $4$ .

$y = | 0 |$

Этап 1.4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 1.5

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(- 2, 0)$ .

$(- 2, 0)$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $- 4$ в $f (x) = | 2 x + 4 |$ . В данном случае получится точка $(- 4, 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = | 2 (- 4) + 4 |$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f (- 4) = | - 8 + 4 |$

Этап 3.1.2.2

Добавим $- 8$ и $4$ .

$f (- 4) = | - 4 |$

Этап 3.1.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 4$ и $0$ равно $4$ .

$f (- 4) = 4$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $- 3$ в $f (x) = | 2 x + 4 |$ . В данном случае получится точка $(- 3, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = | 2 (- 3) + 4 |$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f (- 3) = | - 6 + 4 |$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 6$ и $4$ .

$f (- 3) = | - 2 |$

Этап 3.2.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$f (- 3) = 2$

Этап 3.2.2.4

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = | 2 x + 4 |$ . В данном случае получится точка $(0, 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = | 2 (0) + 4 |$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = | 0 + 4 |$

Этап 3.3.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$f (0) = | 4 |$

Этап 3.3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$f (0) = 4$

Этап 3.3.2.4

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 3.4

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(- 2, 0), (- 4, 4), (- 3, 2), (- 1, 2), (0, 4)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 4 \\ - 3 & 2 \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{array}$

Этап 4