Математический анализ Примеры

$y = 2 \sqrt{x} - x$

Этап 1

Изменим порядок $2 \sqrt{x}$ и $- x$ .

$y = - x + 2 \sqrt{x}$

Этап 2

Найдем область определения $y = 2 \sqrt{x} - x$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 2.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 3

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $0$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = - x + 2 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - (0) + 2 \sqrt{0}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \sqrt{0}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (0) = 0 + 2 \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

Этап 3.2.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 3.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4

Конечная точка подкоренного выражения: $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = - x + 2 \sqrt{x}$ . В данном случае получится точка $(1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - (1) + 2 \sqrt{1}$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - 1 + 2 \sqrt{1}$

Этап 5.1.2.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = - 1 + 2 \cdot 1$

Этап 5.1.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = - 1 + 2$

Этап 5.1.2.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (1) = 1$

Этап 5.1.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 5.2

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = - x + 2 \sqrt{x}$ . В данном случае получится точка $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - (2) + 2 \sqrt{2}$

Этап 5.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (2) = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Этап 5.2.2.2

Окончательный ответ: $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Этап 5.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(0, 0), (1, 1), (2, 0.83)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0.83 \end{array}$

Этап 6