Математический анализ Примеры

Оценить предел предел ( квадратный корень из 1+x- квадратный корень из 1-x)/x, когда x стремится к 0
Этап 1
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 1.1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.2.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.2.2
Внесем предел под знак радикала.
Этап 1.1.2.3
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.2.4
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.1.2.5
Внесем предел под знак радикала.
Этап 1.1.2.6
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.2.7
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.1.2.8
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.2.8.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.2.8.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.2.9
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.2.9.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.2.9.1.1
Добавим и .
Этап 1.1.2.9.1.2
Любой корень из равен .
Этап 1.1.2.9.1.3
Добавим и .
Этап 1.1.2.9.1.4
Любой корень из равен .
Этап 1.1.2.9.1.5
Умножим на .
Этап 1.1.2.9.2
Вычтем из .
Этап 1.1.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 1.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 1.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.3.3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.3.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3.3.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.3.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.3.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.3.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.3.3.7
Объединим и .
Этап 1.3.3.8
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.3.3.9
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.9.1
Умножим на .
Этап 1.3.3.9.2
Вычтем из .
Этап 1.3.3.10
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.3.11
Добавим и .
Этап 1.3.3.12
Объединим и .
Этап 1.3.3.13
Умножим на .
Этап 1.3.3.14
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.3.4
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.4.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.3.4.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.4.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.4.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.4.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.4.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3.4.4
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.4.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.4.6
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.4.7
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.4.8
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.3.4.9
Объединим и .
Этап 1.3.4.10
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.3.4.11
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.4.11.1
Умножим на .
Этап 1.3.4.11.2
Вычтем из .
Этап 1.3.4.12
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.4.13
Умножим на .
Этап 1.3.4.14
Вычтем из .
Этап 1.3.4.15
Объединим и .
Этап 1.3.4.16
Объединим и .
Этап 1.3.4.17
Перенесем влево от .
Этап 1.3.4.18
Перепишем в виде .
Этап 1.3.4.19
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.3.4.20
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.4.21
Умножим на .
Этап 1.3.4.22
Умножим на .
Этап 1.3.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.4
Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Перепишем в виде .
Этап 1.4.2
Перепишем в виде .
Этап 1.5
Разделим на .
Этап 2
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.2
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.3
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 2.4
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.5
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.6
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.7
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.8
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.9
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 2.10
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.11
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.12
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.13
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 3
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 4
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1.1
Добавим и .
Этап 4.1.1.2
Любой корень из равен .
Этап 4.1.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.1.3
Умножим на .
Этап 4.1.4
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.4.1
Добавим и .
Этап 4.1.4.2
Любой корень из равен .
Этап 4.1.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.1.5.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.1.6
Умножим на .
Этап 4.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3
Добавим и .
Этап 4.4
Разделим на .