Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{5 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 \cdot 0^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 12 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.7.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 12 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.7.1.3

Умножим $12$ на $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.7.1.4

Умножим $- 5$ на $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.7.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.7.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 12 x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 12 x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{3} + 12 x^{2} - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 12 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $2$ на $12$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5}{1}$

Этап 2.4

Разделим $3 x^{2} + 24 x - 5$ на $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 24 x - 5$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

Этап 3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

Этап 3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

Этап 3.4

Вынесем член $24$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5)$

Этап 3.5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5)$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5)$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0 + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

Этап 5.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{5} (0 + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

Этап 5.1.3

Умножим $24$ на $0$ .

$\frac{1}{5} (0 + 0 - 1 \cdot 5)$

Этап 5.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1}{5} (0 + 0 - 5)$

Этап 5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{5} (0 - 5)$

Этап 5.3

Вычтем $5$ из $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot - 5$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{1}{5} \cdot (5 (- 1))$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$- 1$