Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{3} + 8 x^{2}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x^{3} + 8 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x^{3} + lim_{x \to 0} 8 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 8 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 8 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 8 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 8 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 0^{3} + 8 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 0^{3} + 8 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 8 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0 + 8 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + 8 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1.1.2.7.1.4

Умножим $8$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 \cdot 0^{2}}$

Этап 1.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Этап 1.1.3.7.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Этап 1.1.3.7.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 - 16 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.7.1.4

Умножим $- 16$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.7.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{3} + 8 x^{2}}{3 x^{4} - 16 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $5 x^{3} + 8 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $3$ на $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 x^{2} + 8 (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 x^{2} + 16 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 16 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 x^{2} + 16 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Этап 1.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 x^{2} + 16 x}{3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Этап 1.3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 x^{2} + 16 x}{3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Этап 1.3.6.3

Умножим $4$ на $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 x^{2} + 16 x}{12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x^{2}$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 x^{2} + 16 x}{12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 x^{2} + 16 x}{12 x^{3} - 16 (2 x)}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $2$ на $- 16$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 x^{2} + 16 x}{12 x^{3} - 32 x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 15 x^{2} + 16 x}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 15 x^{2} + lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем член $15$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{15 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Этап 2.1.2.4

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 16 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Этап 2.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{15 \cdot 0^{2} + 16 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Этап 2.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{15 \cdot 0^{2} + 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Этап 2.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{15 \cdot 0 + 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Этап 2.1.2.6.1.2

Умножим $15$ на $0$ .

$\frac{0 + 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Этап 2.1.2.6.1.3

Умножим $16$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Этап 2.1.2.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{12 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Этап 2.1.3.4

Вынесем член $32$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{12 \cdot 0 - 32 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.6.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$\frac{0}{0 - 32 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.6.1.3

Умножим $- 32$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 2.1.3.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{15 x^{2} + 16 x}{12 x^{3} - 32 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [15 x^{2} + 16 x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [15 x^{2} + 16 x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $15 x^{2} + 16 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Этап 2.3.3.3

Умножим $2$ на $15$ .

$lim_{x \to 0} \frac{30 x + \frac{d}{d x} [16 x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{30 x + 16 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{30 x + 16 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $16$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{30 x + 16}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Этап 2.3.5

По правилу суммы производная $12 x^{3} - 32 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{30 x + 16}{\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Этап 2.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{30 x + 16}{12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Этап 2.3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{30 x + 16}{12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Этап 2.3.6.3

Умножим $3$ на $12$ .

$lim_{x \to 0} \frac{30 x + 16}{36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Поскольку $- 32$ является константой относительно $x$ , производная $- 32 x$ по $x$ равна $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{30 x + 16}{36 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{30 x + 16}{36 x^{2} - 32 \cdot 1}$

Этап 2.3.7.3

Умножим $- 32$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{30 x + 16}{36 x^{2} - 32}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $30 x + 16$ и $36 x^{2} - 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $30 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (15 x) + 16}{36 x^{2} - 32}$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (15 x) + 2 (8)}{36 x^{2} - 32}$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (15 x) + 2 (8)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (15 x + 8)}{36 x^{2} - 32}$

Этап 2.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $36 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (15 x + 8)}{2 (18 x^{2}) - 32}$

Этап 2.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 32$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (15 x + 8)}{2 (18 x^{2}) + 2 (- 16)}$

Этап 2.4.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (18 x^{2}) + 2 (- 16)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (15 x + 8)}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Этап 2.4.4.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (15 x + 8)}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Этап 2.4.4.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{15 x + 8}{18 x^{2} - 16}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 15 x + 8}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - 16}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 15 x + lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - 16}$

Этап 3.3

Вынесем член $15$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{15 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - 16}$

Этап 3.4

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{15 lim_{x \to 0} x + 8}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - 16}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{15 lim_{x \to 0} x + 8}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Этап 3.6

Вынесем член $18$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{15 lim_{x \to 0} x + 8}{18 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Этап 3.7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{15 lim_{x \to 0} x + 8}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Этап 3.8

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{15 lim_{x \to 0} x + 8}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{15 \cdot 0 + 8}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{15 \cdot 0 + 8}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $15 \cdot 0 + 8$ и $18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $18 \cdot 0^{2}$ .

$\frac{15 \cdot 0 + 8}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 \cdot 16}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 16$ .

$\frac{15 \cdot 0 + 8}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)$ .

$\frac{15 \cdot 0 + 8}{- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Этап 5.1.4

Перепишем $- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ в виде $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ .

$\frac{15 \cdot 0 + 8}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $15 \cdot 0$ .

$\frac{2 (15 \cdot 0) + 8}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Этап 5.1.6

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 (15 \cdot 0) + 2 (4)}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Этап 5.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (15 \cdot 0) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (15 \cdot 0 + 4)}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Этап 5.1.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ .

$\frac{2 (15 \cdot 0 + 4)}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Этап 5.1.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (15 \cdot 0 + 4)}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Этап 5.1.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{15 \cdot 0 + 4}{- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8)}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $15$ на $0$ .

$\frac{0 + 4}{- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8)}$

Этап 5.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{4}{- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8)}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4}{- 1 (- 9 \cdot 0 + 8)}$

Этап 5.3.2

Умножим $- 9$ на $0$ .

$\frac{4}{- 1 (0 + 8)}$

Этап 5.3.3

Добавим $0$ и $8$ .

$\frac{4}{- 1 \cdot 8}$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{4}{- 8}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $4$ и $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (1)}{- 8}$

Этап 5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Этап 5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 2}$

Этап 5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$