Математический анализ Примеры

Оценить предел предел x/(tan(x)), если x стремится к 0
Этап 1
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 1.1.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.3
Найдем предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.3.1
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.
Этап 1.1.3.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.3.3
Точное значение : .
Этап 1.1.3.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 1.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.3
Производная по равна .
Этап 2
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 2.2
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.3
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 2.4
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.
Этап 3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 4
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Перепишем в виде .
Этап 4.2
Перепишем в виде .
Этап 4.3
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 4.4
Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на .
Этап 4.5
Умножим на .
Этап 4.6
Точное значение : .
Этап 4.7
Единица в любой степени равна единице.