Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.3
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 1.3.1
Умножим на .
Этап 1.3.2
Умножим на .
Этап 1.3.3
Изменим порядок множителей в .
Этап 1.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2
Этап 2.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 2.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 2.1.2
Найдем предел числителя.
Этап 2.1.2.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.1.2.2
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.1.2.3
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.1.2.4
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.1.2.5
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.1.2.6
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.1.2.7
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Этап 2.1.2.7.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 2.1.2.7.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 2.1.2.8
Упростим ответ.
Этап 2.1.2.8.1
Упростим каждый член.
Этап 2.1.2.8.1.1
Умножим на .
Этап 2.1.2.8.1.2
Упростим каждый член.
Этап 2.1.2.8.1.2.1
Перепишем в виде .
Этап 2.1.2.8.1.2.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 2.1.2.8.1.2.3
Умножим на .
Этап 2.1.2.8.1.3
Вычтем из .
Этап 2.1.2.8.1.4
Умножим на .
Этап 2.1.2.8.2
Вычтем из .
Этап 2.1.2.8.3
Добавим и .
Этап 2.1.3
Найдем предел знаменателя.
Этап 2.1.3.1
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 2.1.3.2
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.1.3.3
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.1.3.4
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 2.1.3.5
Внесем предел под знак радикала.
Этап 2.1.3.6
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 2.1.3.7
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Этап 2.1.3.7.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 2.1.3.7.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 2.1.3.8
Упростим ответ.
Этап 2.1.3.8.1
Умножим на .
Этап 2.1.3.8.2
Вычтем из .
Этап 2.1.3.8.3
Упростим каждый член.
Этап 2.1.3.8.3.1
Перепишем в виде .
Этап 2.1.3.8.3.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 2.1.3.8.3.3
Умножим на .
Этап 2.1.3.8.4
Вычтем из .
Этап 2.1.3.8.5
Умножим на .
Этап 2.1.3.8.6
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 2.1.3.9
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 2.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 2.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 2.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Этап 2.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 2.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.3.5
Найдем значение .
Этап 2.3.5.1
С помощью запишем в виде .
Этап 2.3.5.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.3.5.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.3.5.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.5.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.3.5.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.3.5.7
Объединим и .
Этап 2.3.5.8
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.3.5.9
Упростим числитель.
Этап 2.3.5.9.1
Умножим на .
Этап 2.3.5.9.2
Вычтем из .
Этап 2.3.5.10
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.3.5.11
Добавим и .
Этап 2.3.5.12
Объединим и .
Этап 2.3.5.13
Объединим и .
Этап 2.3.5.14
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.3.5.15
Вынесем множитель из .
Этап 2.3.5.16
Сократим общие множители.
Этап 2.3.5.16.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.3.5.16.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.3.5.16.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.3.5.17
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.3.6
Добавим и .
Этап 2.3.7
С помощью запишем в виде .
Этап 2.3.8
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3.9
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.3.10
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.11
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.3.12
Объединим и .
Этап 2.3.13
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.3.14
Упростим числитель.
Этап 2.3.14.1
Умножим на .
Этап 2.3.14.2
Вычтем из .
Этап 2.3.15
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.3.16
Объединим и .
Этап 2.3.17
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.3.18
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.3.19
Добавим и .
Этап 2.3.20
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.3.21
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.22
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.3.23
Добавим и .
Этап 2.3.24
Умножим на .
Этап 2.3.25
Упростим.
Этап 2.3.25.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.3.25.2
Объединим термины.
Этап 2.3.25.2.1
Объединим и .
Этап 2.3.25.2.2
Перенесем в числитель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.3.25.2.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.3.25.2.3.1
Умножим на .
Этап 2.3.25.2.3.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.3.25.2.3.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.3.25.2.3.2
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 2.3.25.2.3.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.3.25.2.3.4
Вычтем из .
Этап 2.3.25.2.4
Объединим и .
Этап 2.3.25.2.5
Вынесем множитель из .
Этап 2.3.25.2.6
Сократим общие множители.
Этап 2.3.25.2.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.3.25.2.6.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.3.25.2.6.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.3.25.2.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.3.25.2.8
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.3.25.2.9
Объединим и .
Этап 2.3.25.2.10
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.3.25.2.11
Перенесем влево от .
Этап 2.3.25.2.12
Добавим и .
Этап 2.3.25.3
Изменим порядок членов.
Этап 2.4
Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.
Этап 2.4.1
Перепишем в виде .
Этап 2.4.2
Перепишем в виде .
Этап 2.4.3
Перепишем в виде .
Этап 2.5
Объединим термины.
Этап 2.5.1
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 2.5.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.5.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.5.4
Объединим и .
Этап 2.5.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.5.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.5.7
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.5.8
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 2.5.8.1
Умножим на .
Этап 2.5.8.2
Умножим на .
Этап 2.5.8.3
Изменим порядок множителей в .
Этап 2.5.9
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3
Этап 3.1
Упростим выражение под знаком предела.
Этап 3.1.1
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 3.1.2
Объединим множители.
Этап 3.1.2.1
Умножим на .
Этап 3.1.2.2
Умножим на .
Этап 3.1.2.3
Умножим на .
Этап 3.1.3
Сократим общий множитель .
Этап 3.1.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.2
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 4
Этап 4.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 4.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 4.1.2
Найдем предел числителя.
Этап 4.1.2.1
Вычислим предел.
Этап 4.1.2.1.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 4.1.2.1.2
Внесем предел под знак радикала.
Этап 4.1.2.1.3
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 4.1.2.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 4.1.2.3
Упростим ответ.
Этап 4.1.2.3.1
Упростим каждый член.
Этап 4.1.2.3.1.1
Перепишем в виде .
Этап 4.1.2.3.1.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 4.1.2.3.1.3
Умножим на .
Этап 4.1.2.3.2
Вычтем из .
Этап 4.1.3
Найдем предел знаменателя.
Этап 4.1.3.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 4.1.3.2
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 4.1.3.3
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 4.1.3.4
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 4.1.3.5
Внесем предел под знак радикала.
Этап 4.1.3.6
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 4.1.3.7
Внесем предел под знак радикала.
Этап 4.1.3.8
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 4.1.3.9
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Этап 4.1.3.9.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 4.1.3.9.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 4.1.3.10
Упростим ответ.
Этап 4.1.3.10.1
Упростим каждый член.
Этап 4.1.3.10.1.1
Упростим каждый член.
Этап 4.1.3.10.1.1.1
Перепишем в виде .
Этап 4.1.3.10.1.1.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 4.1.3.10.1.1.3
Умножим на .
Этап 4.1.3.10.1.1.4
Умножим на .
Этап 4.1.3.10.1.2
Вычтем из .
Этап 4.1.3.10.1.3
Перепишем в виде .
Этап 4.1.3.10.1.4
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 4.1.3.10.1.5
Умножим на .
Этап 4.1.3.10.1.6
Умножим на .
Этап 4.1.3.10.2
Вычтем из .
Этап 4.1.3.10.3
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 4.1.3.11
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 4.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 4.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 4.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Этап 4.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 4.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.3.3
Найдем значение .
Этап 4.3.3.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.3.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.3.3.4
Объединим и .
Этап 4.3.3.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.3.6
Упростим числитель.
Этап 4.3.3.6.1
Умножим на .
Этап 4.3.3.6.2
Вычтем из .
Этап 4.3.3.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.3.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.3.5
Упростим.
Этап 4.3.5.1
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 4.3.5.2
Объединим термины.
Этап 4.3.5.2.1
Умножим на .
Этап 4.3.5.2.2
Добавим и .
Этап 4.3.6
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.3.7
Найдем значение .
Этап 4.3.7.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.7.2
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.7.3
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.3.7.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.7.5
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.3.7.6
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.3.7.7
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.7.8
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.3.7.9
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.3.7.10
Объединим и .
Этап 4.3.7.11
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.7.12
Упростим числитель.
Этап 4.3.7.12.1
Умножим на .
Этап 4.3.7.12.2
Вычтем из .
Этап 4.3.7.13
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.3.7.14
Объединим и .
Этап 4.3.7.15
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 4.3.7.16
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.3.7.17
Объединим и .
Этап 4.3.7.18
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.7.19
Упростим числитель.
Этап 4.3.7.19.1
Умножим на .
Этап 4.3.7.19.2
Вычтем из .
Этап 4.3.7.20
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.3.7.21
Объединим и .
Этап 4.3.7.22
Объединим и .
Этап 4.3.7.23
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 4.3.7.24
Добавим и .
Этап 4.3.7.25
Объединим и .
Этап 4.3.7.26
Перенесем влево от .
Этап 4.3.7.27
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.7.28
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.7.29
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.3.7.30
Объединим и .
Этап 4.3.7.31
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.7.32
Объединим и .
Этап 4.3.7.33
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.7.34
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.8
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.3.9
Упростим.
Этап 4.3.9.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.3.9.2
Объединим термины.
Этап 4.3.9.2.1
Объединим и .
Этап 4.3.9.2.2
Объединим и .
Этап 4.3.9.2.3
Перенесем влево от .
Этап 4.3.9.2.4
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.9.2.5
Разделим на .
Этап 4.3.9.2.6
Объединим и .
Этап 4.3.9.2.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.3.9.2.8
Добавим и .
Этап 4.3.9.2.9
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.9.2.10
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.9.2.11
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.9.2.12
Сократим общие множители.
Этап 4.3.9.2.12.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.9.2.12.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.9.2.12.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.9.2.12.4
Разделим на .
Этап 4.3.9.2.13
Добавим и .
Этап 4.4
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 4.5
Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.
Этап 4.5.1
Перепишем в виде .
Этап 4.5.2
Перепишем в виде .
Этап 4.6
Умножим на .
Этап 4.7
Объединим термины.
Этап 4.7.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.7.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5
Этап 5.1
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 5.2
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 5.3
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 5.4
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 5.5
Внесем предел под знак радикала.
Этап 5.6
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 5.7
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 5.8
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 5.9
Внесем предел под знак радикала.
Этап 5.10
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 5.11
Внесем предел под знак радикала.
Этап 6
Этап 6.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7
Этап 7.1
Сократим общий множитель .
Этап 7.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 7.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 7.2
Умножим на .
Этап 7.3
Упростим числитель.
Этап 7.3.1
Перепишем в виде .
Этап 7.3.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 7.3.3
Умножим на .
Этап 7.3.4
Умножим на .
Этап 7.3.5
Вычтем из .
Этап 7.4
Упростим знаменатель.
Этап 7.4.1
Перепишем в виде .
Этап 7.4.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 7.5
Объединим и .
Этап 7.6
Упростим числитель.
Этап 7.6.1
Перепишем в виде .
Этап 7.6.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 7.7
Умножим на .
Этап 7.8
Разделим на .
Этап 8
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма: