Математический анализ Примеры

$f (x) = - 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3

Поскольку $- 4 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.5.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + 0$

Этап 1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Добавим $- 4 x$ и $0$ .

$- 4 x + 2 + 0 + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $- 4 x + 2$ и $0$ .

$- 4 x + 2 + 0$

Этап 1.6.3

Добавим $- 4 x + 2$ и $0$ .

$- 4 x + 2$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 4 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $- 4$ и $0$ .

$f'' (x) = - 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 4 x + 2 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3

Поскольку $- 4 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.5.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + 0$

Этап 4.1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Добавим $- 4 x$ и $0$ .

$- 4 x + 2 + 0 + 0$

Этап 4.1.6.2

Добавим $- 4 x + 2$ и $0$ .

$- 4 x + 2 + 0$

Этап 4.1.6.3

Добавим $- 4 x + 2$ и $0$ .

$f' (x) = - 4 x + 2$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 x + 2$ .

$- 4 x + 2$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 x + 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 x + 2 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - 2$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 4 x = - 2$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 2$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 4}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$x = \frac{- 2 (1)}{- 4}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4$

Этап 9

$x = \frac{1}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{2}$ — локальный максимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Этап 10.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1}{2^{2}} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Этап 10.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{4}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Этап 10.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Этап 10.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Этап 10.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Этап 10.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 (\frac{1}{2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Этап 10.2.1.5

Перепишем $- 1 (\frac{1}{2})$ в виде $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Этап 10.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Этап 10.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 y^{2} + 1 + 2 y + 3$

Этап 10.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + 2 y + 3$

Этап 10.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + \frac{- 1 + 2}{2} + 2 y + 3$

Этап 10.2.2.3

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + \frac{1}{2} + 2 y + 3$

Этап 10.2.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.2.4

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1 + 6}{2}$

Этап 10.2.6.2

Добавим $1$ и $6$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$

Этап 10.2.7

Окончательный ответ: $- 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$ .

$y = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = - 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$ .

$(\frac{1}{2}, - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2})$ — локальный максимум

Этап 12