Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{2} + 4 x - 6$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 4 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$10 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 x + 4 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $10 x + 4$ и $0$ .

$10 x + 4$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $10 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.3

Умножим $10$ на $1$ .

$f'' (x) = 10 + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 10 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $10$ и $0$ .

$f'' (x) = 10$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$10 x + 4 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 4 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (x) = 10 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 10 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 10 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (x) = 10 x + 4 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 10 x + 4 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $10 x + 4$ и $0$ .

$f' (x) = 10 x + 4$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $10 x + 4$ .

$10 x + 4$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $10 x + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$10 x + 4 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$10 x = - 4$

Этап 5.3

Разделим каждый член $10 x = - 4$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $10 x = - 4$ на $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{10}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{10}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 2}{5}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{5}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{2}{5}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{2}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$10$

Этап 9

$x = - \frac{2}{5}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{2}{5}$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = - \frac{2}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{2}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 {(- \frac{2}{5})}^{2} + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Этап 10.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{5^{2}})) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Этап 10.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (1 (\frac{2^{2}}{5^{2}})) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Этап 10.2.1.3

Умножим $\frac{2^{2}}{5^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{2^{2}}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Этап 10.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Этап 10.2.1.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{25}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Этап 10.2.1.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 (5)}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Этап 10.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 \cdot 5}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Этап 10.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Этап 10.2.1.7

Умножим $4 (- \frac{2}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - 4 (\frac{2}{5}) - 6$

Этап 10.2.1.7.2

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} - 6$

Этап 10.2.1.7.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 8}{5} - 6$

Этап 10.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} - 6$

Этап 10.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 + \frac{4 - 8}{5}$

Этап 10.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Вычтем $8$ из $4$ .

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 + \frac{- 4}{5}$

Этап 10.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 - \frac{4}{5}$

Этап 10.2.3

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Этап 10.2.4

Объединим $- 6$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 6 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Этап 10.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 6 \cdot 5 - 4}{5}$

Этап 10.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Умножим $- 6$ на $5$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 30 - 4}{5}$

Этап 10.2.6.2

Вычтем $4$ из $- 30$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 34}{5}$

Этап 10.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{5}) = - \frac{34}{5}$

Этап 10.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{34}{5}$ .

$y = - \frac{34}{5}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = 5 x^{2} + 4 x - 6$ .

$(- \frac{2}{5}, - \frac{34}{5})$ — локальный минимум

Этап 12