Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Этап 2.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.2.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 2.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.3
Продифференцируем.
Этап 2.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.3
Упростим выражение.
Этап 2.3.3.1
Умножим на .
Этап 2.3.3.2
Перенесем влево от .
Этап 2.3.3.3
Перепишем в виде .
Этап 2.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.5
Умножим на .
Этап 2.4
Упростим.
Этап 2.4.1
Изменим порядок членов.
Этап 2.4.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 3
Этап 3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.2
Найдем значение .
Этап 3.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.2.3.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 3.2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.2.4
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.2.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.2.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.2.7
Умножим на .
Этап 3.2.8
Перенесем влево от .
Этап 3.2.9
Перепишем в виде .
Этап 3.2.10
Умножим на .
Этап 3.3
Найдем значение .
Этап 3.3.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.3.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.3.1.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 3.3.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.3.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3.4
Умножим на .
Этап 3.3.5
Перенесем влево от .
Этап 3.3.6
Перепишем в виде .
Этап 3.4
Упростим.
Этап 3.4.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.4.2
Объединим термины.
Этап 3.4.2.1
Умножим на .
Этап 3.4.2.2
Умножим на .
Этап 3.4.2.3
Вычтем из .
Этап 3.4.3
Изменим порядок членов.
Этап 3.4.4
Изменим порядок множителей в .
Этап 4
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 5
Этап 5.1
Найдем первую производную.
Этап 5.1.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 5.1.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 5.1.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 5.1.2.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 5.1.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 5.1.3
Продифференцируем.
Этап 5.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 5.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.1.3.3
Упростим выражение.
Этап 5.1.3.3.1
Умножим на .
Этап 5.1.3.3.2
Перенесем влево от .
Этап 5.1.3.3.3
Перепишем в виде .
Этап 5.1.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.1.3.5
Умножим на .
Этап 5.1.4
Упростим.
Этап 5.1.4.1
Изменим порядок членов.
Этап 5.1.4.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 5.2
Первая производная по равна .
Этап 6
Этап 6.1
Пусть первая производная равна .
Этап 6.2
Вынесем множитель из .
Этап 6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 6.2.2
Умножим на .
Этап 6.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 6.3
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 6.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 6.4.1
Приравняем к .
Этап 6.4.2
Решим относительно .
Этап 6.4.2.1
Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.
Этап 6.4.2.2
Уравнение невозможно решить, так как выражение не определено.
Неопределенные
Этап 6.4.2.3
Нет решения для
Нет решения
Нет решения
Нет решения
Этап 6.5
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 6.5.1
Приравняем к .
Этап 6.5.2
Решим относительно .
Этап 6.5.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 6.5.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 6.5.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 6.5.2.2.2
Упростим левую часть.
Этап 6.5.2.2.2.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 6.5.2.2.2.2
Разделим на .
Этап 6.5.2.2.3
Упростим правую часть.
Этап 6.5.2.2.3.1
Разделим на .
Этап 6.6
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 7
Этап 7.1
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Этап 8
Критические точки, которые необходимо вычислить.
Этап 9
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 10
Этап 10.1
Упростим каждый член.
Этап 10.1.1
Умножим на .
Этап 10.1.2
Умножим на .
Этап 10.1.3
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 10.1.4
Умножим на .
Этап 10.1.5
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 10.1.6
Объединим и .
Этап 10.1.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 10.2
Объединим дроби.
Этап 10.2.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 10.2.2
Упростим выражение.
Этап 10.2.2.1
Вычтем из .
Этап 10.2.2.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 11
— локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.
— локальный максимум
Этап 12
Этап 12.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 12.2
Упростим результат.
Этап 12.2.1
Умножим на .
Этап 12.2.2
Умножим на .
Этап 12.2.3
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 12.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 13
Это локальные экстремумы .
— локальный максимум
Этап 14