Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$

Этап 1

Запишем $y = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 16$ на $1$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3 x^{2} - 8 x - 16$ и $0$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 8 x - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.3.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $6 x - 8$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 8$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 5.1.2.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 16$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $3 x^{2} - 8 x - 16$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 8 x - 16$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$

Этап 6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 x$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$

Этап 6.2.1.2

Запишем $- 8$ как $4$ плюс $- 12$

$3 x^{2} + (4 - 12) x - 16 = 0$

Этап 6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 4 x - 12 x - 16 = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} + 4 x) - 12 x - 16 = 0$

Этап 6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x + 4) - 4 (3 x + 4) = 0$

Этап 6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 4) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $3 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 4$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 6.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Этап 6.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 6.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 4) (x - 4) = 0$ верно.

$x = - \frac{4}{3}, 4$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{4}{3}, 4$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - \frac{4}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- \frac{4}{3}) - 8$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{3}$ в числитель.

$6 (\frac{- 4}{3}) - 8$

Этап 10.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{- 4}{3} - 8$

Этап 10.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{- 4}{3} - 8$

Этап 10.1.1.4

Перепишем это выражение.

$2 \cdot - 4 - 8$

Этап 10.1.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 8 - 8$

Этап 10.2

Вычтем $8$ из $- 8$ .

$- 16$

Этап 11

$x = - \frac{4}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{4}{3}$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- \frac{4}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{3^{3}}) - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{4^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.5.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.5.2

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 (1 (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.7

Умножим $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.8

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 \frac{16}{3^{2}} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 (\frac{16}{9}) - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.10

Умножим $- 4 (\frac{16}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.10.1

Объединим $- 4$ и $\frac{16}{9}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{- 4 \cdot 16}{9} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.10.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{- 64}{9} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64}{9} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.12

Умножим $- 16 (- \frac{4}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.12.1

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + 16 (\frac{4}{3}) + 3$

Этап 12.2.1.12.2

Объединим $16$ и $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + \frac{16 \cdot 4}{3} + 3$

Этап 12.2.1.12.3

Умножим $16$ на $4$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + 3$

Этап 12.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Умножим $\frac{64}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{64}{3} + 3$

Этап 12.2.2.2

Умножим $\frac{64}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64}{3} + 3$

Этап 12.2.2.3

Умножим $\frac{64}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64}{3} \cdot \frac{9}{9} + 3$

Этап 12.2.2.4

Умножим $\frac{64}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 3$

Этап 12.2.2.5

Запишем $3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3}{1}$

Этап 12.2.2.6

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 12.2.2.7

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.2.8

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.2.9

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{64 \cdot 9}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 64 \cdot 3 + 64 \cdot 9 + 3 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Умножим $- 64$ на $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 192 + 64 \cdot 9 + 3 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.4.2

Умножим $64$ на $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 192 + 576 + 3 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.4.3

Умножим $3$ на $27$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 192 + 576 + 81}{27}$

Этап 12.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Вычтем $192$ из $- 64$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 256 + 576 + 81}{27}$

Этап 12.2.5.2

Добавим $- 256$ и $576$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{320 + 81}{27}$

Этап 12.2.5.3

Добавим $320$ и $81$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{401}{27}$

Этап 12.2.6

Окончательный ответ: $\frac{401}{27}$ .

$y = \frac{401}{27}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (4) - 8$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $6$ на $4$ .

$24 - 8$

Этап 14.2

Вычтем $8$ из $24$ .

$16$

Этап 15

$x = 4$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = {(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} - 16 \cdot 4 + 3$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (4) = 64 - 4 {(4)}^{2} - 16 \cdot 4 + 3$

Этап 16.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = 64 - 4 \cdot 16 - 16 \cdot 4 + 3$

Этап 16.2.1.3

Умножим $- 4$ на $16$ .

$f (4) = 64 - 64 - 16 \cdot 4 + 3$

Этап 16.2.1.4

Умножим $- 16$ на $4$ .

$f (4) = 64 - 64 - 64 + 3$

Этап 16.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Вычтем $64$ из $64$ .

$f (4) = 0 - 64 + 3$

Этап 16.2.2.2

Вычтем $64$ из $0$ .

$f (4) = - 64 + 3$

Этап 16.2.2.3

Добавим $- 64$ и $3$ .

$f (4) = - 61$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $- 61$ .

$y = - 61$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$ .

$(- \frac{4}{3}, \frac{401}{27})$ — локальный максимум

$(4, - 61)$ — локальный минимум

Этап 18