Математический анализ Примеры

$G (x) = - 2 x^{4} + 20 x^{2} - 18$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{4} + 20 x^{2} - 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{4}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{2}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 8 x^{3} + 20 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $20$ .

$- 8 x^{3} + 40 x + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 8 x^{3} + 40 x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $- 8 x^{3} + 40 x$ и $0$ .

$- 8 x^{3} + 40 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 8 x^{3} + 40 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x]$ .

$G'' (x) = \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (40 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{3}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$G'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (40 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$G'' (x) = - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (40 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 8$ .

$G'' (x) = - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (40 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [40 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $40$ является константой относительно $x$ , производная $40 x$ по $x$ равна $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$G'' (x) = - 24 x^{2} + 40 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$G'' (x) = - 24 x^{2} + 40 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $40$ на $1$ .

$G'' (x) = - 24 x^{2} + 40$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 8 x^{3} + 40 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{4} + 20 x^{2} - 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{4}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{2}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 8 x^{3} + 20 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $20$ .

$- 8 x^{3} + 40 x + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 8 x^{3} + 40 x + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $- 8 x^{3} + 40 x$ и $0$ .

$f' (x) = - 8 x^{3} + 40 x$

Этап 4.2

Первая производная $G (x)$ по $x$ равна $- 8 x^{3} + 40 x$ .

$- 8 x^{3} + 40 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 8 x^{3} + 40 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 8 x^{3} + 40 x = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x^{3} + 40 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} + 40 x = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $40 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 5 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 5)$ .

$- 8 x (x^{2} - 5) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x^{2} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x^{2} - 5$ к $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $x^{2} - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 5$

Этап 5.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{5}$

Этап 5.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

Этап 5.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 5.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 8 x (x^{2} - 5) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 24 {(0)}^{2} + 40$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 24 \cdot 0 + 40$

Этап 9.1.2

Умножим $- 24$ на $0$ .

$0 + 40$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $40$ .

$40$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$G (0) = - 2 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{2} - 18$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$G (0) = - 2 \cdot 0 + 20 {(0)}^{2} - 18$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$G (0) = 0 + 20 {(0)}^{2} - 18$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$G (0) = 0 + 20 \cdot 0 - 18$

Этап 11.2.1.4

Умножим $20$ на $0$ .

$G (0) = 0 + 0 - 18$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$G (0) = 0 - 18$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $18$ из $0$ .

$G (0) = - 18$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 18$ .

$y = - 18$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \sqrt{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 24 {(\sqrt{5})}^{2} + 40$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$- 24 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 40$

Этап 13.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 24 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 40$

Этап 13.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 24 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 40$

Этап 13.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$- 24 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 40$

Этап 13.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$- 24 \cdot 5^{1} + 40$

Этап 13.1.1.5

Найдем экспоненту.

$- 24 \cdot 5 + 40$

Этап 13.1.2

Умножим $- 24$ на $5$ .

$- 120 + 40$

Этап 13.2

Добавим $- 120$ и $40$ .

$- 80$

Этап 14

$x = \sqrt{5}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \sqrt{5}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{5}$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 {(\sqrt{5})}^{4} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{4}$ в виде $5^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 15.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{4}{2}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 15.2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 15.2.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 15.2.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 15.2.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2}{1}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 15.2.1.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 15.2.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 15.2.1.3

Умножим $- 2$ на $25$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 15.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 18$

Этап 15.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 18$

Этап 15.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 18$

Этап 15.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 18$

Этап 15.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5 - 18$

Этап 15.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5 - 18$

Этап 15.2.1.5

Умножим $20$ на $5$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 100 - 18$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $- 50$ и $100$ .

$G (\sqrt{5}) = 50 - 18$

Этап 15.2.2.2

Вычтем $18$ из $50$ .

$G (\sqrt{5}) = 32$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $32$ .

$y = 32$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = - \sqrt{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 24 {(- \sqrt{5})}^{2} + 40$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{5}$ .

$- 24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + 40$

Этап 17.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 24 (1 {\sqrt{5}}^{2}) + 40$

Этап 17.1.3

Умножим ${\sqrt{5}}^{2}$ на $1$ .

$- 24 {\sqrt{5}}^{2} + 40$

Этап 17.1.4

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$- 24 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 40$

Этап 17.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 24 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 40$

Этап 17.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 24 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 40$

Этап 17.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$- 24 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 40$

Этап 17.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$- 24 \cdot 5^{1} + 40$

Этап 17.1.4.5

Найдем экспоненту.

$- 24 \cdot 5 + 40$

Этап 17.1.5

Умножим $- 24$ на $5$ .

$- 120 + 40$

Этап 17.2

Добавим $- 120$ и $40$ .

$- 80$

Этап 18

$x = - \sqrt{5}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \sqrt{5}$ — локальный максимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = - \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{5}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 {(- \sqrt{5})}^{4} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{5}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4}) + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 (1 {\sqrt{5}}^{4}) + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.3

Умножим ${\sqrt{5}}^{4}$ на $1$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 {\sqrt{5}}^{4} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{5}}^{4}$ в виде $5^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{4}{2}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.4.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2}{1}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.4.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.6

Умножим $- 2$ на $25$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.7

Применим правило умножения к $- \sqrt{5}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) - 18$

Этап 19.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 (1 {\sqrt{5}}^{2}) - 18$

Этап 19.2.1.9

Умножим ${\sqrt{5}}^{2}$ на $1$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 {\sqrt{5}}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.10

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 18$

Этап 19.2.1.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 18$

Этап 19.2.1.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 18$

Этап 19.2.1.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.10.4.1

Сократим общий множитель.

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 18$

Этап 19.2.1.10.4.2

Перепишем это выражение.

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5 - 18$

Этап 19.2.1.10.5

Найдем экспоненту.

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5 - 18$

Этап 19.2.1.11

Умножим $20$ на $5$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 100 - 18$

Этап 19.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Добавим $- 50$ и $100$ .

$G (- \sqrt{5}) = 50 - 18$

Этап 19.2.2.2

Вычтем $18$ из $50$ .

$G (- \sqrt{5}) = 32$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $32$ .

$y = 32$

Этап 20

Это локальные экстремумы $G (x) = - 2 x^{4} + 20 x^{2} - 18$ .

$(0, - 18)$ — локальный минимум

$(\sqrt{5}, 32)$ — локальный максимум

$(- \sqrt{5}, 32)$ — локальный максимум

Этап 21