Математический анализ Примеры

$f (x) = x + \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $1 - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

Этап 2.3

Вычтем $\cos (x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$1 - \sin (x) = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (x) = - 1$

Этап 5

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Этап 6

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 9

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 9.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 10

Решение уравнения $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \cos (\frac{π}{2})$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- 0$

Этап 12.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$

Этап 13

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

Этап 13.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, \frac{π}{2})$ в первую производную $1 - \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 1 - \sin (0)$

Этап 13.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f' (0) = 1 - 0$

Этап 13.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

Этап 13.2.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (0) = 1$

Этап 13.2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 13.3

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(\frac{π}{2}, \infty)$ в первую производную $1 - \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 1 - \sin (4)$

Этап 13.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1.1

Найдем значение $\sin (4)$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Этап 13.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Этап 13.3.2.2

Добавим $1$ и $0.75680249$ .

$f' (4) = 1.75680249$

Этап 13.3.2.3

Окончательный ответ: $1.75680249$ .

$1.75680249$

Этап 13.4

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = \frac{π}{2}$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 13.5

Локальный минимум или минимум для $f (x) = x + \cos (x)$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 14