Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\sin^{2} (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 2

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4

Перенесем $2$ влево от $\csc^{2} (x)$ .

$2 \cdot \csc^{2} (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в $2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

Этап 6.2

Добавим круглые скобки.

$2 \csc^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Этап 6.3

Изменим порядок $2 \csc^{2} (x)$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) (2 \csc^{2} (x))$

Этап 6.4

Добавим круглые скобки.

$\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \csc^{2} (x)$

Этап 6.5

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\sin (x) \cdot 2$ .

$\sin (x) \cdot 2 \cos (x) \csc^{2} (x)$

Этап 6.6

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \csc^{2} (x)$

Этап 6.7

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x) \csc^{2} (x)$

Этап 6.8

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (2 x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 6.9

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\sin (2 x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 6.10

Единица в любой степени равна единице.

$\sin (2 x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 6.11

Объединим $\sin (2 x)$ и $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 6.12

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 6.13

Сократим общий множитель $\sin (x)$ и $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Этап 6.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 6.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 6.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.14

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.15

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Этап 6.16

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \cot (x)$