Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$

Этап 1

По правилу суммы производная $8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 e^{x}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$8 e^{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \ln (x^{3})$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2}))$

Этап 3.4

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{3}{x^{3}} x^{2})$

Этап 3.5

Объединим $\frac{3}{x^{3}}$ и $x^{2}$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Этап 3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Этап 3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Этап 3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$8 e^{x} + 4 \frac{3}{x}$

Этап 3.7

Объединим $4$ и $\frac{3}{x}$ .

$8 e^{x} + \frac{4 \cdot 3}{x}$

Этап 3.8

Умножим $4$ на $3$ .

$8 e^{x} + \frac{12}{x}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$\frac{12}{x} + 8 e^{x}$