Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{8}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{3}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{8}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{8}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{8}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.2.4

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{24}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $24$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.2.6.2.4

Разделим $8 x^{2}$ на $1$ .

$8 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$8 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x^{2} - 2 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $8 x^{2} - 2$ и $0$ .

$8 x^{2} - 2$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $8 x^{2} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $8$ .

$f'' (x) = 16 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 16 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $16 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 16 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$8 x^{2} - 2 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$f' (x) = \frac{8}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{8}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{8}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.2.4

Умножим $3$ на $8$ .

$f' (x) = \frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.2.5

Объединим $\frac{24}{3}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.2.6

Сократим общий множитель $24$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $24 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.2.6.2.4

Разделим $8 x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = 8 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $8 x^{2} - 2$ и $0$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x^{2} - 2$ .

$8 x^{2} - 2$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x^{2} - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 x^{2} - 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$8 x^{2} = 2$

Этап 5.3

Разделим каждый член $8 x^{2} = 2$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $8 x^{2} = 2$ на $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{2}{8}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{2}{8}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{8}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{8}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 5.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$16 (\frac{1}{2})$

Этап 9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 (8) \frac{1}{2}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 8 \frac{1}{2}$

Этап 9.3

Перепишем это выражение.

$8$

Этап 10

$x = \frac{1}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{2}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 11.2.1.2

Объединим.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 11.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 2^{3}} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 11.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 8} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 11.2.1.5

Умножим $8$ на $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8}{3 \cdot 8} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 11.2.1.6

Умножим $3$ на $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8}{24} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 11.2.1.7

Сократим общий множитель $8$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 (1)}{24} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 11.2.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.2.1

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 3} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 11.2.1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 3} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 11.2.1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 11.2.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + 2 (- 1) (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 11.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) + \frac{1}{3}$

Этап 11.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3}$

Этап 11.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{1 + 1}{3}$

Этап 11.2.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2}{3}$

Этап 11.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 11.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 11.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 3 + 2}{3}$

Этап 11.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 2}{3}$

Этап 11.2.6.2

Добавим $- 3$ и $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{3}$

Этап 11.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{3}$

Этап 11.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$16 (- \frac{1}{2})$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$16 (\frac{- 1}{2})$

Этап 13.1.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 (8) \frac{- 1}{2}$

Этап 13.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 8 \frac{- 1}{2}$

Этап 13.1.4

Перепишем это выражение.

$8 \cdot - 1$

Этап 13.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 8$

Этап 14

$x = - \frac{1}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{1}{2}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot (- \frac{1}{2^{3}}) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot (- \frac{1}{8}) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot \frac{- 1}{8} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot \frac{- 1}{8} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} - 2 (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} + 2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2})) + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} - 1 \cdot - 1 + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3}$

Этап 15.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + \frac{- 1 + 1}{3}$

Этап 15.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + \frac{0}{3}$

Этап 15.2.2.2.2

Разделим $0$ на $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + 0$

Этап 15.2.2.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{8}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{3}$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{3})$ — локальный минимум

$(- \frac{1}{2}, 1)$ — локальный максимум

Этап 17