Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Этап 1.8

Объединим $7$ и $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{7 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 1.9

Умножим $3$ на $7$ .

$f' (x) = \frac{21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{21}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ по $x$ равна $\frac{21}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 2.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.9

Умножим $\frac{21}{2}$ на $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Этап 2.10.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{21}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{21}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{21}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Этап 3.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 3.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Этап 3.9

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 3.10

Умножим $\frac{21}{4}$ на $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{21 x^{- \frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}$

Этап 3.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f''' (x) = - \frac{21 x^{- \frac{3}{2}}}{8}$

Этап 3.11.2

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{21}{8 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- \frac{21}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{21}{8 x^{\frac{3}{2}}}$ по $x$ равна $- \frac{21}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

Этап 4.2.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

Этап 4.2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

Этап 4.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{3}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Этап 4.7.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Этап 4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Этап 4.9

Объединим $x^{- \frac{5}{2}}$ и $\frac{3}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Этап 4.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{21}{8}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Этап 4.10.2

Умножим $\frac{21}{8}$ на $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{8} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Этап 4.11

Умножим $\frac{21}{8}$ на $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{8 \cdot 2}$

Этап 4.12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Умножим $3$ на $21$ .

$f^{4} (x) = \frac{63 x^{- \frac{5}{2}}}{8 \cdot 2}$

Этап 4.12.2

Умножим $8$ на $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{63 x^{- \frac{5}{2}}}{16}$

Этап 4.12.3

Перенесем $x^{- \frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{63}{16 x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{63}{16 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{63}{16 x^{\frac{5}{2}}}$