Математический анализ Примеры

$f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int (x + 1) (2 x - 1) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) d x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 3.4

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$\int 2 \cdot x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 3.5

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\int 2 \cdot x \cdot x - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 2 (x^{1} x) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 x^{1 + 1} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 3.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 3.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1 d x$

Этап 3.12

Добавим $- 1 x$ и $2 x$ .

$\int 2 x^{2} + x - 1 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + C$

Этап 10.2

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$