Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{5}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 5 x^{4} - 4 x^{5} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 x^{4} d x + \int - 4 x^{5} d x$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{5} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 4 x^{5} d x$

Этап 6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 \int x^{5} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$5 (\frac{1}{5}) x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Этап 8.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Этап 8.2.3

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Этап 8.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{6}$ .

$x^{5} + \frac{- 4}{6} x^{6} + C$

Этап 8.2.5

Сократим общий множитель $- 4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$x^{5} + \frac{2 (- 2)}{6} x^{6} + C$

Этап 8.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x^{5} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} x^{6} + C$

Этап 8.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{5} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} x^{6} + C$

Этап 8.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{5} + \frac{- 2}{3} x^{6} + C$

Этап 8.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{5} - \frac{2}{3} x^{6} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{5}$ .

$F (x) =$ $x^{5} - \frac{2}{3} x^{6} + C$