Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 6 {(2 x + 1)}^{5} (2) d x$

Этап 3

Умножим $2$ на $6$ .

$\int 12 {(2 x + 1)}^{5} d x$

Этап 4

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int {(2 x + 1)}^{5} d x$

Этап 5

Пусть $u = 2 x + 1$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 2 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$12 \int u^{5} \frac{1}{2} d u$

Этап 6

Объединим $u^{5}$ и $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{u^{5}}{2} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{1}{2} \int u^{5} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $12$ .

$\frac{12}{2} \int u^{5} d u$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u^{5} d u$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u^{5} d u$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u^{5} d u$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{1} \int u^{5} d u$

Этап 8.2.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$6 \int u^{5} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{5}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ в виде $6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$ .

$6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Этап 10.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{6} + C$

Этап 10.2.3

Умножим $u^{6}$ на $1$ .

$u^{6} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

${(2 x + 1)}^{6} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$ .

$F (x) =$ ${(2 x + 1)}^{6} + C$