Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} 4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 4 {(x + h - 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{4 lim_{h \to 0} {(x + h - 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x + h - 3)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 {(lim_{h \to 0} x + h - 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{4 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{4 {(x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{4 {(x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.7

Найдем предел $4 {(x - 3)}^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{4 {(x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{4 {(x + 0 - 1 \cdot 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{4 {(x - 1 \cdot 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4 {(x - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.2

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{4 ((x - 3) (x - 3)) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.3

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.4.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.4.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.4.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{4 (x^{2} - 6 x + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 \cdot 9 - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.6.1

Умножим $- 6$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 4 \cdot 9 - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.6.2

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.7

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 ((x - 3) (x - 3))}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.8

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x (x - 3) - 3 (x - 3))}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.9.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.9.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.9.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.9.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x^{2} - 6 x + 9)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x^{2} - 4 (- 6 x) - 4 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.11.1

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x^{2} + 24 x - 4 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2.11.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x^{2} + 24 x - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.3

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x^{2} + 24 x - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.3.1

Вычтем $4 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{- 24 x + 36 + 0 + 24 x - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.3.2

Добавим $- 24 x + 36$ и $0$ .

$\frac{- 24 x + 36 + 24 x - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.3.3

Добавим $- 24 x$ и $24 x$ .

$\frac{0 + 36 - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.3.4

Добавим $0$ и $36$ .

$\frac{36 - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.3.5

Вычтем $36$ из $36$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

Перепишем ${(x + h - 3)}^{2}$ в виде $(x + h - 3) (x + h - 3)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 ((x + h - 3) (x + h - 3)) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Развернем $(x + h - 3) (x + h - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x \cdot x + x h + x \cdot - 3 + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h + x \cdot - 3 + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h - 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $h$ на $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h - 3 x + h x + h^{2} + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.4

Перенесем $- 3$ влево от $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h - 3 x + h x + h^{2} - 3 \cdot h - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.5

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h - 3 x + h x + h^{2} - 3 h - 3 x - 3 h + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + h x + h x - 3 x + h^{2} - 3 h - 3 x - 3 h + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x - 3 x + h^{2} - 3 h - 3 x - 3 h + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3 h - 6 x - 3 h + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7

Вычтем $3 h$ из $- 3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 ((x - 3) (x - 3))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.9

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x (x - 3) - 3 (x - 3))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.11

По правилу суммы производная $4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} - 6 x + 9)$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9)] + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9)] + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12

Найдем значение $\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.12.1

Поскольку $4$ является константой относительно $h$ , производная $4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9)$ по $h$ равна $4 \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9] + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.3

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $h$ , производная $x^{2}$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.4

Поскольку $2 x$ является константой относительно $h$ , производная $2 h x$ по $h$ равна $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.7

Поскольку $- 6$ является константой относительно $h$ , производная $- 6 h$ по $h$ равна $- 6 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h - 6 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.9

Поскольку $- 6 x$ является константой относительно $h$ , производная $- 6 x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h - 6 \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.10

Поскольку $9$ является константой относительно $h$ , производная $9$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h - 6 \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.11

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x + 2 h - 6 \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.12

Добавим $0$ и $2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6 \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.13

Умножим $- 6$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6 + 0 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.14

Добавим $2 x + 2 h - 6$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12.15

Добавим $2 x + 2 h - 6$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.13

Поскольку $- 4 (x^{2} - 6 x + 9)$ является константой относительно $h$ , производная $- 4 (x^{2} - 6 x + 9)$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x) + 4 (2 h) + 4 \cdot - 6 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.14.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.14.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 x + 4 (2 h) + 4 \cdot - 6 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.14.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 x + 8 h + 4 \cdot - 6 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.14.2.3

Умножим $4$ на $- 6$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 x + 8 h - 24 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.14.2.4

Добавим $8 x + 8 h - 24$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 x + 8 h - 24}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.14.3

Изменим порядок членов.

$lim_{h \to 0} \frac{8 h + 8 x - 24}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 h + 8 x - 24}{1}$

Этап 1.4

Разделим $8 h + 8 x - 24$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} 8 h + 8 x - 24$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 8 h + lim_{h \to 0} 8 x - lim_{h \to 0} 24$

Этап 2.2

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$8 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 8 x - lim_{h \to 0} 24$

Этап 2.3

Найдем предел $8 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$8 lim_{h \to 0} h + 8 x - lim_{h \to 0} 24$

Этап 2.4

Найдем предел $24$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$8 lim_{h \to 0} h + 8 x - 1 \cdot 24$

Этап 3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$8 \cdot 0 + 8 x - 1 \cdot 24$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $8$ на $0$ .

$0 + 8 x - 1 \cdot 24$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $24$ .

$0 + 8 x - 24$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $8 x$ .

$8 x - 24$