Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{x}$

Этап 1

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \csc (x) - \frac{1}{x}$

Этап 2

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \csc (x) - \frac{1}{x}$

Этап 3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\csc (x) - \frac{1}{x}$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \csc (x) - \frac{1}{x} \\ - 0.1 & - 0.01668613 \\ - 0.01 & - 0.00166668 \\ - 0.001 & - 0.00016666 \\ - 0.0001 & - 0.00001666 \end{array}$

Этап 4

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\csc (x) - \frac{1}{x}$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $0$ .

$0$

Этап 5

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (x) - \frac{1}{x}$

Этап 6

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\csc (x) - \frac{1}{x}$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \csc (x) - \frac{1}{x} \\ 0.1 & 0.01668613 \\ 0.01 & 0.00166668 \\ 0.001 & 0.00016666 \\ 0.0001 & 0.00001666 \end{array}$

Этап 7

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\csc (x) - \frac{1}{x}$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0$ .

$0$