Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (7 x)}{\sin (5 x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (7 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}{\sin (5 x)}$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}{\sin (5 x)}$ в виде произведения.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Переведем $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ в $\tan (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (7 x) \frac{1}{\sin (5 x)}$

Этап 1.3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (5 x)}$ в $\csc (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Этап 2

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Этап 3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (7 x) \csc (5 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \tan (7 x) \csc (5 x) \\ - 0.1 & 1.75687007 \\ - 0.01 & 1.40287561 \\ - 0.001 & 1.4000287 \\ - 0.0001 & 1.40000028 \end{array}$

Этап 4

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1.4$ . Таким образом, предел $\tan (7 x) \csc (5 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $1.4$ .

$1.4$

Этап 5

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Этап 6

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (7 x) \csc (5 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \tan (7 x) \csc (5 x) \\ 0.1 & 1.75687007 \\ 0.01 & 1.40287561 \\ 0.001 & 1.4000287 \\ 0.0001 & 1.40000028 \end{array}$

Этап 7

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1.4$ . Таким образом, предел $\tan (7 x) \csc (5 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $1.4$ .

$1.4$