Математический анализ Примеры

Оценить предел предел (cos(x)tan(x))/x, если x стремится к 0
Этап 1
Применим тригонометрические тождества.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 1.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 2
Предел при стремлении к равен .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 2.1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.1
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 2.1.2.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 2.1.2.3
Точное значение : .
Этап 2.1.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 2.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 2.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 2.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 2.3.2
Производная по равна .
Этап 2.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.4
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.4.1
Разделим на .
Этап 2.4.2
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 2.5
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 2.6
Точное значение : .