Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{14 h + 1} - 1}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{14 h + 1} - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{14 h + 1} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 14 h + 1} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 14 h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.4

Вынесем член $14$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{\sqrt{14 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{14 lim_{h \to 0} h + 1} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{14 lim_{h \to 0} h + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{\sqrt{14 \cdot 0 + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $14$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{14 h + 1} - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{14 h + 1} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{14 h + 1} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{14 h + 1} - 1$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [\sqrt{14 h + 1}] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{14 h + 1}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [\sqrt{14 h + 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{14 h + 1}$ в виде ${(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ и $g (h) = 14 h + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $14 h + 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [14 h + 1] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [14 h + 1] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $14 h + 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [14 h + 1] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $14 h + 1$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [14 h] + \frac{d}{d h} [1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [14 h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $14$ является константой относительно $h$ , производная $14 h$ по $h$ равна $14 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $h$ , производная $1$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.12

Умножим $14$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (14 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.13

Добавим $14$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 14 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.15

Объединим $\frac{{(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $14$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14}{2} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.16

Перенесем $14$ влево от ${(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{14 \cdot {(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.17

Перенесем ${(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{14}{2 {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.18

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.19.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 7}{2 ({(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.19.2

Сократим общий множитель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.19.3

Перепишем это выражение.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{7}{{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $h$ , производная $- 1$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{7}{{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

Добавим $\frac{7}{{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{7}{{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{7}{{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{7}{{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Перепишем ${(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{14 h + 1}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7}{\sqrt{14 h + 1}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $\frac{7}{\sqrt{14 h + 1}}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7}{\sqrt{14 h + 1}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$7 lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{14 h + 1}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$7 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{14 h + 1}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$7 \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{14 h + 1}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$7 \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 14 h + 1}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$7 \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 14 h + lim_{h \to 0} 1}}$

Этап 2.6

Вынесем член $14$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$7 \frac{1}{\sqrt{14 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

Этап 2.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$7 \frac{1}{\sqrt{14 lim_{h \to 0} h + 1}}$

Этап 3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$7 \frac{1}{\sqrt{14 \cdot 0 + 1}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $14$ на $0$ .

$7 \frac{1}{\sqrt{0 + 1}}$

Этап 4.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$7 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Этап 4.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$7 (\frac{1}{1})$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$7 (\frac{1}{1})$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$7 \cdot 1$

Этап 4.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7$