Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{x^{3} - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} {(x^{2} - 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем степень $3$ в выражении ${(x^{2} - 1)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{{(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.1.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{x^{3} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 1.3.7

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 {(x^{2} - 1)}^{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 1.3.8

Изменим порядок множителей в $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 1.3.9

По правилу суммы производная $x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{3 x^{2} + 0}$

Этап 1.3.12

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{3 x^{2}}$

Этап 1.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x {(x^{2} - 1)}^{2})}{3 x^{2}}$

Этап 1.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x {(x^{2} - 1)}^{2})}{3 (x^{2})}$

Этап 1.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x {(x^{2} - 1)}^{2})}{3 x^{2}}$

Этап 1.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (2 {(x^{2} - 1)}^{2})}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (2 {(x^{2} - 1)}^{2})}{x \cdot x}$

Этап 1.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{x (2 {(x^{2} - 1)}^{2})}{x \cdot x}$

Этап 1.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{2 {(x^{2} - 1)}^{2}}{x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$2 \frac{lim_{x \to 1} {(x^{2} - 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 2.3

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x^{2} - 1)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$2 \frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 2.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 2.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$2 \frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$2 \frac{{(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$2 \frac{{(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}}{1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим ${(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}$ на $1$ .

$2 {(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 {(1 - 1 \cdot 1)}^{2}$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 {(1 - 1)}^{2}$

Этап 4.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 \cdot 0^{2}$

Этап 4.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \cdot 0$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $0$ .

$0$