Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ , $y = 4$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} = 4$

Этап 1.2

Решим $x^{2} = 4$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 1.2.2

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 1.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 1.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 1.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 1.3

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = 4$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(2, 4)$

$(- 2, 4)$

$(2, 4)$

$(- 2, 4)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} 4 d x - \int_{- 2}^{2} x^{2} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{2} 4 - (x^{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x^{2}$ .

$\int_{- 2}^{2} 4 - x^{2} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{2} 4 d x + \int_{- 2}^{2} - x^{2} d x$

Этап 3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - x^{2} d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 x]_{- 2}^{2} - \int_{- 2}^{2} x^{2} d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 x]_{- 2}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2})$

Этап 3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2})$

Этап 3.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Найдем значение $4 x$ в $2$ и в $- 2$ .

$(4 \cdot 2) - 4 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2})$

Этап 3.7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $- 2$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$8 - 4 \cdot - 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$8 + 8 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.3

Добавим $8$ и $8$ .

$16 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$16 - (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.5

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$16 - (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3})$

Этап 3.7.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$16 - (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3})$

Этап 3.7.2.3.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$16 - (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3}))$

Этап 3.7.2.3.8

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$16 - (\frac{8}{3} + \frac{8}{3})$

Этап 3.7.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$16 - \frac{8 + 8}{3}$

Этап 3.7.2.3.10

Добавим $8$ и $8$ .

$16 - \frac{16}{3}$

Этап 3.7.2.3.11

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Этап 3.7.2.3.12

Объединим $16$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Этап 3.7.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 \cdot 3 - 16}{3}$

Этап 3.7.2.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.14.1

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{48 - 16}{3}$

Этап 3.7.2.3.14.2

Вычтем $16$ из $48$ .

$\frac{32}{3}$

Этап 4