Математический анализ Примеры

$y = x$ , $y = 2 \sqrt{x}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x = 2 \sqrt{x}$

Этап 1.2

Решим $x = 2 \sqrt{x}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$2 \sqrt{x} = x$

Этап 1.2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = x^{2}$

Этап 1.2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{1} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.4

Упростим.

$4 x = x^{2}$

Этап 1.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x - x^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$4 u - u^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2.2

Вынесем множитель $u$ из $4 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $u$ из $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Этап 1.2.4.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Этап 1.2.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (4 - x) = 0$

Этап 1.2.4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0 + y = 2 \sqrt{x}$

Этап 1.2.4.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4.5

Приравняем $4 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Приравняем $4 - x$ к $0$ .

$4 - x = 0$

Этап 1.2.4.5.2

Решим $4 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 1.2.4.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.4.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 1.2.4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (4 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 2 \sqrt{0}$

Этап 1.3.2

Упростим $2 \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \sqrt{0}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.3.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 2 \cdot 0$

Этап 1.3.2.4

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = 2 \sqrt{4}$

Этап 1.4.2

Упростим $2 \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \sqrt{4}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2^{2}}$

Этап 1.4.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 2 \cdot 2$

Этап 1.4.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$y = 4$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(4, 4)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{4} 2 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{4} x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{x} - (x) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x$ .

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{x} - x d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{4} - x d x$

Этап 3.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{4} - x d x$

Этап 3.5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{4} - x d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $4$ и в $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.5

Умножим $2$ на $8$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.8.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.8.2

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.10

Умножим $2$ на $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (\frac{16}{3} - 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\frac{16}{3} + 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.13

Добавим $\frac{16}{3}$ и $0$ .

$2 (\frac{16}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.14

Объединим $2$ и $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.15

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.16

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.17

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.17.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{32}{3} - (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.17.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.18

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{2})$

Этап 3.10.2.3.19

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.19.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 3.10.2.3.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.10.2.3.19.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.10.2.3.19.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{1})$

Этап 3.10.2.3.19.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{32}{3} - (8 - 0)$

Этап 3.10.2.3.20

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 + 0)$

Этап 3.10.2.3.21

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{32}{3} - 1 \cdot 8$

Этап 3.10.2.3.22

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{32}{3} - 8$

Этап 3.10.2.3.23

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.10.2.3.24

Объединим $- 8$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Этап 3.10.2.3.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{32 - 8 \cdot 3}{3}$

Этап 3.10.2.3.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.26.1

Умножим $- 8$ на $3$ .

$\frac{32 - 24}{3}$

Этап 3.10.2.3.26.2

Вычтем $24$ из $32$ .

$\frac{8}{3}$

Этап 4