Математический анализ Примеры

Построить касательную в точке x^2+xy+y^2=3 , (1,1)
,
Этап 1
Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках и , чтобы найти угловой коэффициент касательной.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Продифференцируем обе части уравнения.
Этап 1.2
Продифференцируем левую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.2.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.2.2.2
Перепишем в виде .
Этап 1.2.2.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.2.4
Умножим на .
Этап 1.2.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.2.3.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.3.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.2.3.2
Перепишем в виде .
Этап 1.2.4
Изменим порядок членов.
Этап 1.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.4
Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.
Этап 1.5
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.5.1.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.5.2
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.3
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 1.5.3.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.5.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 1.5.3.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.3.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.5.3.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.3.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.3.3.4
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.3.3.5
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.3.5.1
Перепишем в виде .
Этап 1.5.3.3.5.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.6
Заменим на .
Этап 1.7
Найдем значение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 1.7.2
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 1.7.3
Избавимся от скобок.
Этап 1.7.4
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.4.1
Умножим на .
Этап 1.7.4.2
Добавим и .
Этап 1.7.5
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.5.1
Умножим на .
Этап 1.7.5.2
Добавим и .
Этап 1.7.6
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.6.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.6.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.7.6.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.7.6.2
Умножим на .
Этап 2
Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Используем угловой коэффициент и координаты заданной точки вместо и в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом .
Этап 2.2
Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.
Этап 2.3
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1.1
Перепишем.
Этап 2.3.1.2
Упростим путем добавления нулей.
Этап 2.3.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.3.1.4
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1.4.1
Перепишем в виде .
Этап 2.3.1.4.2
Умножим на .
Этап 2.3.2
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.3.2.2
Добавим и .
Этап 3