Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{n \to 8} {(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})}^{n}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{n \to 8} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\frac{n + 1}{n})}^{n}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})$ , вынося $n$ из логарифма.

$lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n + 1}{n})}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n + 1}{n})}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n + 1}{n})}$

Этап 3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n + 1}{n})}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 4.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 4.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})$ путем переноса $8$ под логарифм.

$e^{\ln ({(\frac{8 + 1}{8})}^{8})}$

Этап 5.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(\frac{8 + 1}{8})}^{8}$

Этап 5.3

Добавим $8$ и $1$ .

${(\frac{9}{8})}^{8}$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $\frac{9}{8}$ .

$\frac{9^{8}}{8^{8}}$

Этап 5.5

Возведем $9$ в степень $8$ .

$\frac{43046721}{8^{8}}$

Этап 5.6

Возведем $8$ в степень $8$ .

$\frac{43046721}{16777216}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{43046721}{16777216}$

Десятичная форма:

$2.56578451 \dots$