Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (5 x)}{x^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{x^{2}}$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{x^{2}}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{x^{2}}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{x^{2}}$

Этап 5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{x^{2}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{\sin (0) \sin (5 \cdot 0)}{x^{2}}$

Этап 7.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 \sin (5 \cdot 0)}{x^{2}}$

Этап 7.1.3

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0 \sin (0)}{x^{2}}$

Этап 7.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{x^{2}}$

Этап 7.2

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Этап 7.3

Разделим $0$ на $x^{2}$ .

$0$