Математический анализ Примеры

$\ln (\ln (x^{2}))$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$\ln (x^{2}) = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Запишем в экспоненциальной форме.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Для логарифмических уравнений $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ такому, что $x > 0$ , $b > 0$ и $b \neq 1$ . В этом случае $b = e$ , $x = x^{2}$ и $y = 0$ .

$b = e$

$x = x^{2}$

$y = 0$

Этап 1.2.1.2

Подставим значения $b$ , $x$ и $y$ в уравнение $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x^{2}$

Этап 1.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} = e^{0}$ .

$x^{2} = e^{0}$

Этап 1.2.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{2} = 1$

Этап 1.2.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 1.2.2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 1.2.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 1.2.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 1.2.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 1.3

Вертикальная асимптота возникает в $x = 1, x = - 1$ .

Вертикальная асимптота: $x = 1, x = - 1$

Этап 2

Найдем точку в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \ln (\ln ({(- 2)}^{2}))$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \ln (\ln (4))$

Этап 2.2.2

Окончательный ответ: $\ln (\ln (4))$ .

$\ln (\ln (4))$

Этап 2.3

Преобразуем $\ln (\ln (4))$ в десятичное представление.

$= 0.32663425$

Этап 3

Найдем точку в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \ln (\ln ({(- 3)}^{2}))$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = \ln (\ln (9))$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ: $\ln (\ln (9))$ .

$\ln (\ln (9))$

Этап 3.3

Преобразуем $\ln (\ln (9))$ в десятичное представление.

$= 0.787195$

Этап 4

Найдем точку в $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \ln (\ln ({(- 4)}^{2}))$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = \ln (\ln (16))$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $\ln (\ln (16))$ .

$\ln (\ln (16))$

Этап 4.3

Преобразуем $\ln (\ln (16))$ в десятичное представление.

$= 1.01978144$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 1, x = - 1$ и точек $(- 2, 0.32663425), (- 3, 0.787195), (- 4, 1.01978144)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 1, x = - 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 1.02 \\ - 3 & 0.787 \\ - 2 & 0.327 \end{array}$

Этап 6