Математический анализ Примеры

$x = - 1$ , $x = 2$ , $y = 3 e^{3 x}$ , $y = 2 e^{3 x} + 1$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$

Этап 1.2

Решим $3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $2 e^{3 x}$ из обеих частей уравнения.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} = 1$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $2 e^{3 x}$ из $3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} = 1$

Этап 1.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (1)$

Этап 1.2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Развернем $\ln (e^{3 x})$ , вынося $3 x$ из логарифма.

$3 x \ln (e) = \ln (1)$

Этап 1.2.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$3 x \cdot 1 = \ln (1)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 x = \ln (1)$

Этап 1.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$3 x = 0$

Этап 1.2.5

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 2 e^{3 (0)} + 1$

Этап 1.3.2

Упростим $2 e^{3 (0)} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$y = 2 e^{0} + 1$

Этап 1.3.2.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$y = 2 \cdot 1 + 1$

Этап 1.3.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$y = 2 + 1$

Этап 1.3.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = 3$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 3)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 d x - \int_{- 1}^{0} 3 e^{3 x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - (3 e^{3 x}) d x$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - 3 e^{3 x} d x$

Этап 3.3

Вычтем $3 e^{3 x}$ из $2 e^{3 x}$ .

$\int_{- 1}^{0} 1 - e^{3 x} d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{0} d x + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Этап 3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} e^{3 x} d x$

Этап 3.7

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 3.7.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 3.7.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 3.7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot - 1$

Этап 3.7.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$u_{lower} = - 3$

Этап 3.7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 0$

Этап 3.7.5

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 3.7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Этап 3.7.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 3.8

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 3.9

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$x]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u)$

Этап 3.10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Этап 3.11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Найдем значение $x$ в $0$ и в $- 1$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Этап 3.11.2

Найдем значение $e^{u}$ в $0$ и в $- 3$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Этап 3.11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Добавим $0$ и $1$ .

$1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Этап 3.11.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - e^{- 3})$

Этап 3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{e^{3}})$

Этап 3.12.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Этап 3.12.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Этап 3.12.1.4

Умножим $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{e^{3}}$

Этап 3.12.1.4.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Этап 3.12.1.4.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{e^{3}}$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Этап 3.12.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Этап 3.12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Этап 3.12.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Этап 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} + 1 d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - (2 e^{3 x} + 1) d x$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 e^{3 x} - (2 e^{3 x}) - 1 \cdot 1$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 \cdot 1$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1$

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 d x$

Этап 5.3

Вычтем $2 e^{3 x}$ из $3 e^{3 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - 1 d x$

Этап 5.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Этап 5.5

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 5.5.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 5.5.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 5.5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Этап 5.5.3

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 5.5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Этап 5.5.5

Умножим $3$ на $2$ .

$u_{upper} = 6$

Этап 5.5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Этап 5.5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Этап 5.6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Этап 5.7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Этап 5.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Этап 5.9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + - x]_{0}^{2}$

Этап 5.10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Найдем значение $e^{u}$ в $6$ и в $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + - x]_{0}^{2}$

Этап 5.10.2

Найдем значение $- x$ в $2$ и в $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 5.10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.3.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 5.10.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 5.10.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2 + 0$

Этап 5.10.3.4

Добавим $- 2$ и $0$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2$

Этап 5.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Этап 5.11.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Этап 5.11.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3} - 2$

Этап 5.11.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2$

Этап 5.11.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.11.3

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Этап 5.11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

Этап 5.11.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.5.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 6}{3}$

Этап 5.11.5.2

Вычтем $6$ из $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 7}{3}$

Этап 5.11.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$

Этап 6

Сложим площади $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + e^{6} - 7}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Этап 6.2

Вычтем $7$ из $2$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Этап 6.3

Чтобы записать $\frac{e^{6} - 5}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} \cdot \frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Этап 6.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{e^{6} - 5}{3}$ на $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3}}{3 e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Этап 6.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{6} e^{3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Этап 6.5.2

Умножим $e^{6}$ на $e^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{6 + 3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Этап 6.5.2.2

Добавим $6$ и $3$ .

$\frac{e^{9} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Этап 7