Математический анализ Примеры

$\log_{b} (216) = 3$

Этап 1

Перепишем $\log_{b} (216) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$b^{3} = 216$

Этап 2

Решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $216$ из обеих частей уравнения.

$b^{3} - 216 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $216$ в виде $6^{3}$ .

$b^{3} - 6^{3} = 0$

Этап 2.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = b$ и $b = 6$ .

$(b - 6) (b^{2} + b \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перенесем $6$ влево от $b$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 6^{2}) = 0$

Этап 2.2.3.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$b - 6 = 0$

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $b - 6$ к $0$ , затем решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $b - 6$ к $0$ .

$b - 6 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$b = 6$

Этап 2.5

Приравняем $b^{2} + 6 b + 36$ к $0$ , затем решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $b^{2} + 6 b + 36$ к $0$ .

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $b^{2} + 6 b + 36 = 0$ относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = 36$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $b$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $144$ из $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$b = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$ верно.

$b = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$