Математический анализ Примеры

$3^{2 x} - 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $3^{2 x}$ в виде ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} - 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = 3^{x}$ . Подставим $u$ вместо $3^{x}$ для всех.

$u^{2} - 12 u + 27 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} - 12 u + 27$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $27$ , а сумма — $- 12$ .

$- 9, - 3$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 9) (u - 3) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $3^{x}$ .

$(3^{x} - 9) (3^{x} - 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3^{x} - 9 = 0$

$3^{x} - 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $3^{x} - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3^{x} - 9$ к $0$ .

$3^{x} - 9 = 0$

Этап 3.2

Решим $3^{x} - 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$3^{x} = 9$

Этап 3.2.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{x} = 3^{2}$

Этап 3.2.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 2$

Этап 4

Приравняем $3^{x} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3^{x} - 3$ к $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $3^{x} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$3^{x} = 3$

Этап 4.2.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{x} = 3^{1}$

Этап 4.2.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 1$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3^{x} - 9) (3^{x} - 3) = 0$ верно.

$x = 2, 1$