Математический анализ Примеры

$\ln (1 - x) + \ln (2 - x) = \ln (x + 14)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((1 - x) (2 - x)) = \ln (x + 14)$

Этап 1.2

Развернем $(1 - x) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (1 (2 - x) - x (2 - x)) = \ln (x + 14)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (1 \cdot 2 + 1 (- x) - x (2 - x)) = \ln (x + 14)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (1 \cdot 2 + 1 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\ln (2 + 1 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\ln (2 - x - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Этап 1.3.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (2 - x - 2 x - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Этап 1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (x + 14)$

Этап 1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (x + 14)$

Этап 1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (x + 14)$

Этап 1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (2 - x - 2 x + 1 x^{2}) = \ln (x + 14)$

Этап 1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\ln (2 - x - 2 x + x^{2}) = \ln (x + 14)$

Этап 1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$\ln (2 - 3 x + x^{2}) = \ln (x + 14)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$2 - 3 x + x^{2} = x + 14$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 - 3 x + x^{2} - x = 14$

Этап 3.1.2

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$2 + x^{2} - 4 x = 14$

Этап 3.2

Вычтем $14$ из обеих частей уравнения.

$2 + x^{2} - 4 x - 14 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $14$ из $2$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Этап 3.4

Разложим $x^{2} - 4 x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 4$ .

$- 6, 2$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 6, - 2$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (1 - x) + \ln (2 - x) = \ln (x + 14)$ истинным.

$x = - 2$