Математический анализ Примеры

$\log (x + 3) + \log (x + 4) = \log (20)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 3) (x + 4)) = \log (20)$

Этап 1.2

Развернем $(x + 3) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x (x + 4) + 3 (x + 4)) = \log (20)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot 4 + 3 (x + 4)) = \log (20)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot 4 + 3 x + 3 \cdot 4) = \log (20)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 4 + 3 x + 3 \cdot 4) = \log (20)$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\log (x^{2} + 4 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 4) = \log (20)$

Этап 1.3.1.3

Умножим $3$ на $4$ .

$\log (x^{2} + 4 x + 3 x + 12) = \log (20)$

Этап 1.3.2

Добавим $4 x$ и $3 x$ .

$\log (x^{2} + 7 x + 12) = \log (20)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} + 7 x + 12 = 20$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 7 x + 12 - 20 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $20$ из $12$ .

$x^{2} + 7 x - 8 = 0$

Этап 3.3

Разложим $x^{2} + 7 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $7$ .

$- 1, 8$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) (x + 8) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.6

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 8) = 0$ верно.

$x = 1, - 8$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (x + 3) + \log (x + 4) = \log (20)$ истинным.

$x = 1$