Математический анализ Примеры

$\frac{z + 3}{z^{2} + 3 z + 2} - \frac{z - 1}{z^{2} + z - 2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $z^{2} + 3 z + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{z - 1}{z^{2} + z - 2}$

Этап 1.2

Разложим $z^{2} + z - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{z - 1}{(z - 1) (z + 2)}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $z - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{z - 1}{(z - 1) (z + 2)}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{1}{z + 2}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{1}{z + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z + 1}{z + 1}$ .

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{1}{z + 2} \cdot \frac{z + 1}{z + 1}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(z + 1) (z + 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{z + 2}$ на $\frac{z + 1}{z + 1}$ .

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{z + 1}{(z + 2) (z + 1)}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $(z + 2) (z + 1)$ .

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{z + 1}{(z + 1) (z + 2)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{z + 3 - (z + 1)}{(z + 1) (z + 2)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{z + 3 - z - 1 \cdot 1}{(z + 1) (z + 2)}$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{z + 3 - z - 1}{(z + 1) (z + 2)}$

Этап 5.3

Вычтем $z$ из $z$ .

$\frac{0 + 3 - 1}{(z + 1) (z + 2)}$

Этап 5.4

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{3 - 1}{(z + 1) (z + 2)}$

Этап 5.5

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{2}{(z + 1) (z + 2)}$