Математический анализ Примеры

$(1 - 4 e^{x}) x^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 - 4 e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

$(1 - 4 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 e^{x}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 - 4 e^{x}) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 e^{x}]$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $1 - 4 e^{x}$ .

$2 \cdot (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 e^{x}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $1 - 4 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}]$ .

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}])$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}])$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 4 e^{x}]$ .

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}]$

Этап 2.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 e^{x}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \cdot 1 + 2 (- 4 e^{x})) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 x + 2 (- 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x + 2 (- 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

Этап 4.3.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$2 x - 8 e^{x} x + x^{2} (- 4 e^{x})$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$- 8 e^{x} x - 4 e^{x} x^{2} + 2 x$

Этап 4.5

Изменим порядок множителей в $- 8 e^{x} x - 4 e^{x} x^{2} + 2 x$ .

$- 8 x e^{x} - 4 x^{2} e^{x} + 2 x$