Математический анализ Примеры

$t \sqrt{16 - t^{2}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{16 - t^{2}}$ в виде ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ и $g (t) = 16 - t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $16 - t^{2}$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $16 - t^{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 8.3

Перенесем ${(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $t$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}] + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 9

По правилу суммы производная $16 - t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [16] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [16] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 10

Поскольку $16$ является константой относительно $t$ , производная $16$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{2}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t)) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 14.2

Объединим $- 2$ и $\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 14.3

Объединим $\frac{- 2 t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $t$ .

$\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 15

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 16

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 18

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 2 t^{2}}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 t^{2}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 20.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 20.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 23

Умножим ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 24

Чтобы записать ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26

Умножим ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{1}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 27

Упростим ${(16 - t^{2})}^{1}$ .

$\frac{- t^{2} + 16 - t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 28

Вычтем $t^{2}$ из $- t^{2}$ .

$\frac{- 2 t^{2} + 16}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 29

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 t^{2} + 16}{{(- t^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$