Математический анализ Примеры

$y = \frac{t \sin (t)}{1 + t}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t \sin (t)$ и $g (t) = 1 + t$ .

$\frac{(1 + t) \frac{d}{d t} [t \sin (t)] - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = \sin (t)$ .

$\frac{(1 + t) (t \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 3

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \cdot 1) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 4.2

Умножим $\sin (t)$ на $1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $1 + t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 4.4

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 4.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 4.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Развернем $(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (t \cos (t) + \sin (t)) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 5.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 5.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 5.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Умножим $t \cos (t)$ на $1$ .

$\frac{t \cos (t) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 5.1.1.2.2

Умножим $\sin (t)$ на $1$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 5.1.1.2.3

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.3.1

Перенесем $t$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t \cdot t \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 5.1.1.2.3.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 5.1.2

Объединим противоположные члены в $t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычтем $t \sin (t)$ из $t \sin (t)$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + 0}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 5.1.2.2

Добавим $t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)$ и $0$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{t \cos (t) + t^{2} \cos (t) + \sin (t)}{{(t + 1)}^{2}}$